補足 - ガウシアンフィルタの直列接続
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(1) 2つのフィルタを直列接続してできるフィルタは、元のフィルタの畳み込みである。 (2) 特に、ガウシアンフィルタを直列接続すると１つのガウシアンフィルタになり、 その時定数は元の時定数の2乗和の平方根 √((τ1)2+(τ2)2)になる |
2つのフィルタ f(t)とg(t) を直列接続した場合を考える。
中間の信号w(t)を消去して
t'''=t'+t''とおくと
したがって、直列接続してできるフィルタh(t)は、元のf(t)とg(t)の畳み込みであることがわかる。
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特に、フィルタがガウシアンである場合、
直列接続してできるフィルタh(t)を計算すると
結局、ガウシアンフィルタを直列接続すると１つのガウシアンフィルタになり、その時定数は元の時定数の2乗和の平方根になる。
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各部分を別々に測定し、それらを足して全体の値を求めるとき、その値の測定誤差は各部分の誤差を単純に足すのでなく、2乗して和をとった後に平方根をとるが、この「誤差の伝播則」も上記のフィルタと同じ理屈である。
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(1) 各部分の測定値の和X1＋X2の分布は、元の2つの分布の畳み込みになる (2) 特に、測定誤差がガウス分布に従うとすると、測定値の和の誤差もガウス分布に従い その誤差の2乗(分布の分散)は元の誤差の2乗和 (σ1)2 + (σ2)2 になる。(誤差の伝播則) |
各部分の測定値Xiの分布を、確率変数Xiが値xをとる確率密度関数p(X=x)と考えると、それらを足したX1+ X2が値xをとる確率密度関数は、X1=x'でかつX2=x-x'である確率をすべてのx'について足せばよいから、
と畳み込みになる。特に、p(Xi=x)がガウス分布の場合
上記のフィルタの計算と同様に、p(X1+ X2 =x)の分散σ2が
と各部分の分散の和となる。測定値の誤差はガウス分布の幅σだから「2乗して和をとった後に平方根をとる」という操作になるのである。
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誤差がガウス分布に従うと仮定すると、測定値と誤差の2乗との間に次のような線形性があることがわかったので
一般に関数関係fがある場合は
と分布の中心の周りで近似して
と計算できる(誤差の伝播則)。逆に、誤差がガウス分布に従わないときは、この式は厳密には成り立たない。