補足 - ガウシアンフィルタの直列接続

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(1) 2つのフィルタを直列接続してできるフィルタは、元のフィルタの畳み込みである。

(2) 特に、ガウシアンフィルタを直列接続すると1つのガウシアンフィルタになり、

  その時定数は元の時定数の2乗和の平方根 SQRT((τ1)2+(τ2)2)になる

2つのフィルタ f(t)g(t) を直列接続した場合を考える。

中間の信w(t)を消去して

t'''=t'+t''とおくと

したがって、列接続してできるフィルタh(t)は、元のf(t)g(t)の畳み込みであることがわかる。

特に、フィルタがガウシアンである場合、

直列接続してできるフィルタh(t)を計算すると

結局、ガウシアンフィルタを直列接続すると1つのガウシアンフィルタになり、その時定数は元の時定数の2乗和の平方根になる

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各部分を別々に測定し、それらを足して全体の値を求めるとき、その値の測定誤差は各部分の誤差を単純に足すのでなく、2乗して和をとった後に平方根をとるが、この「誤差の伝播則」も上記のフィルタと同じ理屈である。

(1) 各部分の測定値の和X1X2の分布は、元の2つの分布の畳み込みになる

(2) 特に、測定誤差がガウス分布に従うとすると、測定値の和の誤差もガウス分布に従い

  その誤差の2(分布の分散)は元の誤差の2乗和1)2 + (σ2)2 になる。(誤差の伝播則)

各部分の測定値Xiの分布を、確率変数Xiが値xをとる確率密度関数p(X=x)と考えると、それらを足したX1+ X2が値xをとる確率密度関数は、X1=x'でかつX2=x-x'である確率をすべてのx'について足せばよいから、

と畳み込みになる。特に、p(Xi=x)がガウス分布の場合

上記のフィルタの計算と同様に、p(X1+ X2 =x)の分σ2

と各部分の分散の和となる。測定値の誤差はガウス分布の幅σだから「2乗して和をとった後に平方根をとる」という操作になるのである。

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誤差がガウス分布に従うと仮定すると、測定値と誤差の2乗との間に次のような線形性があることがわかったので、

一般に関数関fがある場合は

と分布の中心の周りで近似して

と計算できる(誤差の伝播則)。逆に、誤差がガウス分布に従わないときは、この式は厳密には成り立たないということになる。


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