いろいろな関数のフーリエ変換
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(1) ガウシアンのフーリエ変換はガウシアン
(2) 指数関数のフーリエ変換はローレンツィアン
(3) 矩形パルスのフーリエ変換はSinc関数
(4) ステップ関数のフーリエ変換は1/(ω-jε)
(5) 1/tのフーリエ変換は符号関数
(6) 1/(t-jε)のフーリエ変換はステップ関数
(7) 正弦波(単一周波数)のフーリエ変換はデルタ関数
(8) ローレンツィアンのフーリエ変換は指数関数
(9) Sinc関数のフーリエ変換は矩形パルス（バンドパスフィルタ)
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(1) ガウシアンのフーリエ変換はガウシアン
ここで定積分
は次のように2次元平面上の積分を使って求められる
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(2) 指数関数のフーリエ変換はローレンツィアン
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(3) 矩形パルスのフーリエ変換はSinc関数
(4) ステップ関数のフーリエ変換は1/(ω-jε)
ステップ関数はt=∞でゼロにならないので積分が発散してしまう。
そこで指数関数e-εt (0<ε)で減衰させて計算する。
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次の(5)(6)は複素積分で計算できる。(→補足 - ステップ関数のフーリエ変換による表現)
(5) 1/tのフーリエ変換は符号関数
補足の計算では1/ωの逆フーリエ変換は符号関数
変数名をω→t、t→−ωと入れ替えて
(6) 1/(t-jε)のフーリエ変換はステップ関数
補足の計算では1/(ω-jε)の逆フーリエ変換はステップ関数
変数名をω→t、t→−ωと入れ替えて
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(7) 正弦波のフーリエ変換はデルタ関数
正弦波が直交するのは天下り的に認めるとして、δ関数の係数が2πになることは上記(5)を使って計算できる。
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(8) ローレンツィアンのフーリエ変換は指数関数
これは上記(6)を使って計算できる。
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(9) Sinc関数のフーリエ変換は矩形パルス
sinをexpに書き直して
ここで上記(5)を使えば
だから、-W<ω<Wの区間は2倍になり、それ以外はゼロになる。
特にω=0とおくと次の定積分の値が得られる。
