いろいろな関数のフーリエ変換

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(1) ガウシアンのフーリエ変換はガウシアン

(2) 指数関数のフーリエ変換はローレンツィアン

(3) 正弦波(単一周波数)のフーリエ変換はデルタ関数

(4) 矩形パルスのフーリエ変換sin(x)/x

(5) sin(x)/xフーリエ変換は矩形パルス(バンドパスフィルタ)

(6) 1/xのフーリエ変換はステップ関数

(1) ガウシアンのフーリエ変換はガウシアン

ここで定積分

は次のように2次元平面上の積分を使って求められる

(2) 指数関数のフーリエ変換はローレンツィアン

◇◇

(3) 正弦波のフーリエ変換はデルタ関数

これは、正弦波が直交基底であるという意味なので天下り的に認める。

◇◇◇

(4) 矩形パルスのフーリエ変換sin(x)/x

◇◇◇◇

(5) sin(x)/xのフーリエ変換は矩形パルス

上記(4)と同様に周波数軸のバンドパスフィルタの逆フーリエ変換は

だからその逆のフーリエ変換が成り立つとすれば(5)になる。

W=1,ω=0とおくと次の定積分の値が得られる。

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(6) 1/xのフーリエ変換はステップ関数

これを示すには上記(5)においてω=0おいて

W-W置き換えると

すなわち

したがって


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