不確定性原理
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t軸でパルス幅Δtを狭くするとω軸でスペクトル幅Δωは広がる 両方を同時に狭くすることはできず下限がある【不確定性原理】
ここで幅Δt, Δωの定義は次のとおり
等号が成り立つのはパルスがガウシアンのとき
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例えばパルス幅2τの矩形パルスのフーリエ変換は前項で計算したように
だからパルス幅を狭くすると、スペクトルの幅は広がる。
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この性質は一般に成り立つことが示せる。なお以下の計算は「やさしいフーリエ変換」(松尾博)によっている。
まず、信号x(t)とその周波数スペクトルX(ω)に対してt軸上とω軸上の幅を次のように標準偏差で定義する。
ここで、信号のエネルギーは1に規格化されているとする。
不等式としてシュワルツの不等式
を使いたいので、ω軸の積分をt軸の積分に直すためにx(t)の微分
にパーセバルの等式を適用して(→補足-パーセバルの等式)
とすればよい。
結局、tx(t)とx'(t)にシュワルツの不等式を適用して
左辺を部分積分すると
と定数になるから、
したがって
が示せた。等号が成り立つのは
のとき。積分して
と、信号がガウシアンのときとなる。
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(補足) 厳密に言うと上記の不等式とハイゼンベルクの不確定性原理は別物らしい。「ハイゼンベルクの顕微鏡」(石井茂)によると、位置Qと運動量P=id/dQに対して、上記のような標準偏差σ(Q)σ(P)と不確定性原理の測定誤差ε(Q)η(P)は区別して定義される。
ハイゼンベルクの不等式 ε(Q)η(P)≧1/2
ケナードの不等式 σ(Q)σ(P)≧1/2
ケナードの不等式の方は測定とは無関係に量子が持つ数学的な関係だが、ハイゼンベルクの不等式の方は測定プロセスが含まれており、
小澤の不等式 ε(Q)η(P)+ε(Q)σ(P)+σ(Q)η(P)≧1/2
に一般化される。以上は受け売りで、測定プロセスとは何のことか理解できなかったのだが、確かに大学で量子力学を学んだ時、電子にγ線を当てる思考実験で導く説明と、ΔxΔpを標準偏差と定義して不等式を導く話とはつながらない感じがした。これに限らず量子力学はマクロな現実世界とつながらない話ばかりだった印象があり、小澤の不等式はいつか理解してみたい。