補足 - Robertsonの不等式
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非可換なエルミート演算子どうしは分散を同時に小さくできない
ここで<>は演算子の期待値を表す
例1) 座標と運動量
例2) 角運動量
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この不等式の左側はシュワルツの不等式で、右側は複素数の絶対値の2乗が虚部の2乗より大きいことによっている。
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最初はA,Bをエルミートと限定せずに不等式を導こう。
まずシュワルツの不等式は、ベクタA|ψ>,B|ψ>間の長さを平方完成して、正でなければならないことから導ける。
ここで<A†A><B†B>は実数で正だから、任意の複素数tについて右辺が正であるには
等号が成り立つのは、2つのベクトルどうしが複素数倍になっているときである。
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次に、複素数<A†B>を実部と虚部に分けると
複素数の絶対値の2乗は、実部や虚部のみの2乗より大きいから、シュワルツの不等式よりゆるい不等式が得られる。
等号が成り立つのは、2つのベクトルどうしが複素数倍でかつ内積が実数/純虚数のとき。
だから言いかえると、等号が成り立つのは2つのベクトルどうしが実数倍/純虚数倍のときである。
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さらにA、Bがエルミートのときは、分散の積が反交換子や交換子より大きいという不等式になる。
ここで<A2><B2>は実数で正、<AB+ BA>は実数、<ABーBA>は純虚数であることに注意。
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ちなみに、上記のゆるい方の不等式は、シュワルツの不等式の導出においてtを実数や純虚数に限定しても導ける。
いま、純虚数をjt(tは実数)とおくと
ここで<A†A><B†B>は実数で正、<A†BーB†A>は純虚数だから、任意の実数tについて右辺が正であるには
等号が成り立つのは、2つのベクトルどうしが純虚数倍になっているときである。
