差動とシングルエンドのインピーダンスの定量的関係
差動インピーダンスとシングルエンドの特性インピーダンスの定量的な関係式を求めよう。
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準備として、結合伝送線路のCs,Cmと単独の伝送線路のCとの関係を求める。
まず信号線1しかない場合を考えると、線電荷q1を与えたときの電位v1は単独の信号線のキャパシタンスをCとして
これに信号線2に線電荷q2を与えたときの電場を重ね合わせると、適当なパラメータξを使って次のように表せる。
信号線1,2が対称であるから、信号線2に線電荷q2を与えたときの電位v2の式も1,2について対称になり、次のように表せる。
一方、上記の結合伝送線路の回路図によると、信号線1,2に電位v1,v2を与えたときの線電荷q1,q2は次のように表される。
これらの係数を比較して
と、結合伝送線路のCs,Cmと単独の伝送線路のCの関係がパラメータξを介して表せた。
ここで物理的意味からCs≦Cになるはずなので0≦ξ、さらに0＜Cm,Cなのでξのとりうる値は
である。したがってξの2次方程式(2)の正の解をとると
これはCm/Cの増加関数になっているから、パラメータξは信号線1,2間の結合の強さを示している。
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さて前項で結合伝送線路から計算した結果は
であった。これに式(1)(2)を代入すると、even/oddモードのインピーダンスと伝搬速度が単一伝送線路のインピーダンスZ0と伝搬速度uで表せる。
ここで伝搬速度がeven/oddモードで異なるように見えるが、そもそも分布定数回路のモデルはTEM波を前提としている(→TEM波による説明)ので、伝搬速度はeven/oddモードで等しいはずである。もしモードによって伝搬速度が異なると、電磁場が進むにつれて進行方向の成分が大きくなり、どこかで横波(Transverse EM波)とは見なせなくなってしまう。そこで、
という仮定を設けると
とLm/LもCm/Cと同じξで表される。これらをeven/oddモードのインピーダンスに代入すれば
と、even/oddモードインピーダンスが、シングルエンドのインピーダンスZ0とパラメータξで表せた。物理的意味から0≦ξ＜1だったので、次の大小関係が成り立つ。
逆に、シングルエンドのZ0はZ+とZ-の算術平均値であり、ξはZ+とZ-の差の相対値である。
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次項では、L,Cが具体的に計算できる例でパラメータξを計算してみる。