分布定数回路による差動インピーダンスの計算

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差動とシングルエンドのインピーダンスの関係を定量的に扱えるように、差動/コモンインピーダンスを分布定数回路から計算してみよう。なおシングルエンドの方程式は多くの本に載っているが差動の方程式が載っている本はあまりなく、ここの計算は「ボード設計者のための分布定数回路のすべて」(碓井有三)によっている。

まず2本の信号線が相互キャパシタンス、相互インダクタンスで結合した伝送線路は図のようになる。

この図から電圧と電流の方程式は次のようになる。

信号1,2の電圧・電流の代わりにeven/oddモードの電圧・電流

で表わすと方程式は対角化される。ただし、対角化されたのは12L,Cが同じ(平衡)であったからで、もし非平衡ならば非対角成分が残りevenモードとoddモードが互いに移り変わりうる(モード変換)ことになる。

電流を消去して電圧だけの式にするとシングルエンドと同様に波動方程式になる。

したがってシングルエンドのときと同様に計算すると(補足 - 伝送線路方程式の一般解)

初期条件

のもとでのラプラス変換後の一般解は次のとおり。

時間領域で表すと進行vaと逆行波vbなる。

ここeven/oddードの伝搬速度は

と、この式だけ見るevenモードとoddモードで伝搬速度が異なるように見えるが、TEM波ならばどちらも同じ光速になるはずである。このことは後で具体例で確かめる。

またeven/oddモードの特性インピーダンスは

すなわち

とコモンインピーダンスと差動インピーダンスが分布定L,Lm,Cs,Cm表せた。

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これらをシングルエンドの特性インピーダンスZ0

と比べたいのだが、結合伝送線路の信号-GND間のキャパシタンスCsはシングルエンドのCとは同じではないので、そのままでは比べられない。そこで次項ではCsCを計算してみる。


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