分割数をグランドカノニカル分布で求める

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自然数UをN個の自然数に分割する方法の数P(U,N)は

グランドカノニカル分布で計算するとパラメータτを介して表せる

U=一定のときP(U,N)が最大になるNの値はパラメータτを介して表せる

ところで、分割数P(U,N)の閉じた式は知られてないのだが、前項で見たようにBE統計では状態数がちょうど分割数P(U,N)になったので、グランドカノニカル分布で求めた解析的な式からP(U,N)の近似式が求められるかもしれない。実際、ミクロカノニカル分布による計算では

グランドカノニカル分布による計算では、エネルギーの単位をΔε=1にとって

だったから、式(2)をτ(U,N)について解いて式(1')で積分すればP(U,N)が求められる。

◇

とはいえ式(2)をτ(U,N)について解くのは無理そうなので、まず(1')の積分を実行してみる。dUは(2)から

これを(1')に代入して

この第1項は部分積分できて

したがって

この第2項は変数をx=N/τに置き換えて

したがって式(1')の積分が求められた。

◇◇

式(1),(2)によりσ=logP(U,N)がパラメータτを介して表せたが数値計算するしかないので、U=100としてN対logPのグラフを描いてみると、グランドカノニカルで求めたσ(U,N)は、ミクロカノニカルで求めたlogP(U,N)より少し大きめになる。これは前項のミクロとグランドカノニカルの比較で、グランドカノニカルでは温度τが低めに出たのと同じである。