グランドカノニカル分布による計算
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等間隔エネルギー準位の理想気体の温度τ(U,N)は グランドカノニカル分布で計算すると MB統計:
BE統計:
FD統計:
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グランドカノニカル分布では、温度τと化学ポテンシャルμが与えられて大分配関数からU(τ,μ)などを計算するが、理想気体では各エネルギー準位εsの平均粒子数<ns>がわかっているので、ここから出発する。
MB統計:
BE統計:
FD統計:
全粒子数と全エネルギーは
和を積分で近似すると、エネルギー準位が等間隔Δεのとき単位エネルギーあたりの状態数は1/Δεだから
◇
MB統計のとき、全粒子数は
全エネルギーは、部分積分して
(1)を使えばμを消去できて
◇◇
BE統計のとき、全粒子数は
全エネルギーは、部分積分して
第１項は(3)を使えばNに等しい
第２項の積分は、計算しやすいように定数μ,τを含まない変数xに置き換えると(天下り的だが試行錯誤した結果です)
したがって
この積分は、高温と低温のとき展開できる(→補足-BEとFD統計の積分)
◇◇◇
FD統計のとき、全粒子数は
全エネルギーは、部分積分して
第１項は(5)からNに等しい
第２項の積分は、計算しやすいように定数μ,τを含まない変数xに置き換えると
したがって
この積分は、上記のBEの積分を平行移動したものになっている(→補足-BEとFD統計の積分)
この平行移動分は基底状態の差、すなわちBEはN個全部がε1に入るのに対して、FDはε1からεNまで1個ずつ入るからである。
◇◇◇◇
高温、低温で展開した式を使うと温度τ対Uの正確なグラフが描ける。
