波束の時間発展を数値計算する方法

波束の時間発展を数値計算する方法

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波動関数の時間発展の式(Cayley形式)

において位置と時間を離散化して

境界条件を

としたとき、波動関数の時間発展の漸化式(ψ^kからψ^k+1を計算する)は次のとおり

次に、波束の時間発展を数値計算する方法を紹介する。なお、ここの方法は、渡辺尚貴さんのホームページによっている。

◇

最初に、シュレディンガー方程式について、計算を楽にするために変数を無次元化しておく。

各定数の次元は、単位エネルギーをV₀とおくと

だから

これを使って

と無次元変数に置き換えると、シュレディンガー方程式は

◇◇

微小時間⊿tに対する波動関数の時間発展の式を考える。シュレディンガー方程式の形式解

に対して、素直に⊿t の1次の項まで取ると

となるが、この時間発展演算子はユニタリでなくなっているので、時間が進むと波束の大きさ(ノルム)がどんどん大きくなってしまう。

そこで、天下り的だが時間発展演算子をCayley形式と呼ばれる

にすると、

と、⊿tの2次の項まで正確で、しかも

と厳密にユニタリになっている。

したがって、時間発展演算子として、⊿tの2次の項まで正確で、しかも波束の大きさが一定に保たれるCayley形式を使うことにする。ただ、Cayley形式は右辺に分母(逆演算子)があるので、これをはらうと

となり、左辺のψ(t+⊿t)についての方程式を解かなければならないことに注意。

◇◇◇

Cayley形式の式からψの時間についての漸化式を導く。まず分母をはらった式

において、位置と時間を離散化して

差分方程式に直すと

ψについて整理して

境界条件として両端で

とすると

このψ^k+1についての連立1次方程式は3重対角行列になっているので、実は簡単な手順で解ける。まず、左辺は次のようにLU分解できて

このLU分解した連立1次方程式

は、中間変数uを設けると次の2つの連立1次方程式に分けられる。

すなわち

これは簡単に解けて

以上で、現在のψ^k から中間変数a,b,uを経由して次の時間のψ^k+1を計算する漸化式(1)(2)(3)(4)が得られた。

◇◇◇◇

漸化式を、疑似コードで書きなおしておく。

最初に連立方程式の係数を計算して(ポテンシャルは時間依存でもよいのだが、ここでは不変としておく)

そうすると、現在のψ^k から次の時間のψ^k+1は、次の2段階で計算できる。(境界条件によりj=0,Nは固定なので、j=1からN-1まで計算すればよい)

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