角運動量を行列力学で解く
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【問題】 角運動量Lの交換関係が与えられたとき
L2とLzの固有値と固有ベクトル|n>を求む。
【解】
ここで|l,l>は次の方程式できまる。
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ここまでハミルトニアンばかりを対象にしてきたので、他の例として角運動量に行列力学の解法を適用してみる。角運動量の固有値を求める方法は多くの教科書に載っているが、天下り的な印象を受けるので、ここではエルミート演算子の固有値を平方完成で求める方法に沿って、
(1) 演算子をA=(a†a+c)の形に平方完成して、<φ|a†a|φ>≧0という条件から固有値の最小値(または最大値)を求める。
(2) 演算子(a†)-1Aa†を作って、これを平方完成して次に最小(または最大)な固有値を求める。
∵a†|φ>は上記の最小(または最大)固有値に対する固有ベクトルを除いた(直交する)空間になっている。
という方針で角運動量の固有値を求めてみる。
◇
角運動量は3次元の座標ｒと運動量pで定義される。(→補足-運動エネルギーを球座標で表す)
各成分はエルミート
ではあるが、各成分どうしの交換関係は
と非可換になるので、3つの成分の固有値は同時に求められない。しかし１つの成分Lzと大きさL2は
と可換なので、同時に固有値を求めることができる。そこでL2とLzの固有値と固有ベクトルを
とおく。ここでL2の固有値nは非負、Lzの固有値mは正負どちらもとりうる。
◇◇
最初のステップは、演算子を(a†a+c)の形に平方完成して<φ|a†a|φ>≧0という条件から固有値の最小値(または最大値)を求めることである。L2とLzのうち平方完成できそうなのはL2なので、やってみると
すなわち
と2とおりに平方完成できる。ここでa†aの対角成分は非負であるという条件から
となり、角運動量の大きさnによってz成分mの上限下限が決まることがわかる。式が簡単になるようにnの代わりに
とおくと、2とおりの平方完成それぞれについて
mの上限が厳しくなるような平方完成を選ぶと、不等式の等号が成り立つのは次のときである。
逆に下限が厳しくなるような平方完成を選ぶと、不等式の等号が成り立つのは次のときである。
どちらの平方完成を選んでもよいが、値が正の方がわかりやすいので最大値の方をとることにする。
◇◇◇
次のステップは、演算子(a†)-1Aa†を平方完成して次に最大な固有値を求めることである。
L2にa†をかけると
Lzにa†をかけると
したがって、平方完成するまでもなく最大固有値の固有ベクトル|l,mmax>と直交するベクトルa†|l, mmax>はL2とLzの固有ベクトルになっており、L2の固有値は同じで、Lzの固有値は1だけ小さくなることがわかった。
以下同様に
となるから、a†を繰り返し作用させるとLzの固有値は下限に到達するはずである。k回で下限に達するとすると
kは整数だから、lは半整数値をとりうることがわかる。実際には軌道角運動量L=r×pのlは整数値しか取り得ないのだが、それはL自身の交換関係の他に、座標rとの関係
があるからで、その証明はグリーンの本に書いてあるのだが、パウリ行列とかが出てきて結構面倒である。
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結局、L2とLzの固有値は
固有ベクトルは、方程式
の解を元にして次式で求められる。
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角運動量の計算を振り返ってみると、2回目以降の平方完成はしなくて済んだ(というか1回目と同じ演算子aで平方完成できた)。これは
と、a†がたまたまLzを１つ下げる下降演算子になっていたからである。この状況は調和振動子の場合も同じで
とa†がHを2つ上げる上昇演算子になっていたので、2回目以降も1回目と同じ演算子aで平方完成できた。一方、水素原子や井戸型ポテンシャルの場合は、平方完成する演算子aが毎回変化していった。ただその変化が規則的だったので何とか計算できた。
このように、角運動量と調和振動子の場合はたまたま平方完成が簡単になるが、水素原子や井戸型ポテンシャルの場合はそうならないことが、後者の行列力学による解法が一般の量子力学の教科書に載っていない理由なのだろう。