エルミート演算子の固有値を平方完成で求める方法
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【問題】 エルミート演算子Hの固有値En（小さい方からn=0,1,..とする）と固有ベクトル|n>を求む。
【解法】 (1) Hをc0が最大になるように平方完成する。ここでa0は演算子、c0はc数。
(2) a†aの順番をひっくりかえしたHnを作り、これを平方完成してanとcnを決める操作をくりかえす
(3) こうすると、Hの固有値は小さい方からc0,c1,...になっている。
固有値cnに対応する固有ベクトル|n>は、方程式
から|φ>を求めて、これにa†を作用させれば得られる
【解法の意味】 (1) Hｎをcnが最大になるように平方完成する操作は、Hｎの最小固有値を求めている (2) a†aの順番をひっくりかえしたHnを作る操作は、Hn-1から最小固有値の固有ベクトルを除いている |
この固有値の求め方は、「ハイゼンベルグ形式による量子力学」(グリーン)に載っている。ただし、記号や用語は我流に変えてある。例えば、グリーンの本では因数分解と呼んでいるが、平方完成の方がふさわしいと思ったのでここではそう呼んでいる。
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さて、この方法は線形代数で習う固有値の求め方とかなり違っており、これでどうして固有値が求まるのだろうか？グリーンの本には天下り的に方法が示されて、得られた結果が固有値や固有ベクトルになっていることを証明する、という書き方になっているので
(1)なぜ平方完成するのか？なぜc数は大きいものを選ばなければならないのか？
(2)なぜa†aの順番をひっくりかえしてaa†を作るのか？
といった意図がわからない。
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まず、平方完成する意味を考えてみる。
この式をHの固有ベクトルで挟んで行列成分を書き下すと
ここで<φ| a†a |φ>はベクトルa |φ>のノルムだから非負である
したがってc0は最小固有値E0以下の値しかとりえず
c0が固有値E0に等しくなる(不等式の等号が成り立つ)のは、a0が次の方程式を満たすとき。
したがって、平方完成して得られたa0,c0に対して、もし方程式
を満たすベクトル|φ>が存在すれば、c0はHの最小固有値に一致し、|φ>はその固有ベクトルである。
もし平方完成して得られたa0に対して上記の方程式を満たすベクトル|φ>が存在しなければ
となっているので、もっとc0が大きくなるような平方完成を探す必要がある。結局、Hnをc0が最大になるように平方完成する操作は、最小固有値を求めていることになる。ちなみに、問題ではHの固有値には下限があるという前提になっているが、上限がある場合はc0が最小になるように平方完成すればよい。
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次に、現在の演算子Hn-1のa†aの順番をひっくりかえして次の演算子Hnを作る意味を考えてみる。最小固有値の求め方は既にわかっているので、最小固有値に対する固有ベクトルを除いた空間を作れれば、小さい方から次々と固有値が求められることになる。演算子a0は最小固有値の固有ベクトル|0>に作用させるとゼロになったから
したがって任意のベクトル|φ>に対して
すなわち、a0†をベクトル空間に作用させると|0>を除いた(|0>と直交した)ベクトル空間ができる。a0†をベクトル空間に作用させる代わりに、演算子の方に右からa0†をかけても同じだから
左のa0†が邪魔なので左から逆数をかけて
としてもよい。結局、a†aの順番をひっくりかえしたHnを作る操作は、Hn-1から最小固有値の固有ベクトルを除いていることになる。
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なお、グリーンの本では次のように証明されている。
(1) cnは小さい方からn番目の固有値である
H0の固有値αに対する固有ベクトルを|α>とおく。
|α>から作った
というベクトルのノルムを計算すると
したがって、任意の固有値はc0以上である。次に
したがって、固有値はc0に等しいかまたはc1以上である。以下同様にして
したがって、固有値はc0からcn-1のどれかに等しいかまたはcn以上である。
(2) 固有値cnに対応する固有ベクトル|ｎ>は次のとおり
この|φ>はHnの固有値cnに対する固有ベクトルになっている
このとき
だから、確かに|n>はH0の固有値cnに対応する固有ベクトルになっている。