ハミルトニアンを平方完成する方法

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運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和の形になっているハミルトニアン

は次の形に平方完成できる

ただf(q)は次の微分方程式を満たす

前項で、演算子を平方完成できれば固有値を求められることがわかったが、いつも都合よく平方完成できるのだろうか?

運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和の形になっているハミルトニアン

の場合は、運動p2次の項しかないので

の形に置いてみると

だから(→足-q,pの交換関係の公式)、微分方程式

を満たf(q)を求めれば、平方完成できることになる。

◇◇

平方完成f(q)微分方程式に帰着したので、何やらシュレディンガー方程式を解くのと似ているが、実はこれらは等価である。

とおくと

だから

とシュレディンガー方程式に帰着する。

ただし、f(q)の方は基底状態の波動関数に対応するものだけ求めればよい点が、すべての状態を微分方程式から求めようとする波動力学と違う。


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