球面上の2点間の最速降下曲線を解く
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密度が一様な球体の、球面上の2点間を最速で結ぶトンネルは ハイポサイクロイド(距離2πa,深さ2a)
所要時間は
ここで、地球の半径R=(全周40000km)/2π、重力加速度g=9.8 m/s2 ・東京-大阪間400kmの所要時間は8分24秒 ・東京-ロンドン間9600kmの所要時間は41分 ・東京-裏側(ブラジル沖)間20000kmの所要時間は60分 |
地表を平面と近似せずに、球面でも最速降下曲線はサイクロイド(平面でなく球面を転がしたハイポサイクロイド)になるのだろうか?
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前項の直交座標から、地球の中心を原点とする極座標に直して計算すればよい。
速さvはポテンシャルエネルギーで決まるから、深さ方向の座標rだけの関数になり
前々項の結果から、これのEuler-Lagrange方程式は積分定数をC>0とおいて
dr/dθ=1/θ'について整理すれば、最速降下曲線の方程式が求まる。
速さv(y)の関数形を決めるため、ポテンシャルを密度が一様な球体内の重力場とし始点1でU(R)=0とすれば
また式(2)のルートの中が正であることから積分定数Cはv/rの最大値すなわち最下点での速度/座標なので、最下点の座標r0で表すと
これらを式(2)に代入して
これが一様な球体内の重力場での最速降下曲線の方程式である。
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この方程式(4)は常套手段では積分できそうにないが、r(θ)が求められなくても微分θ'は求まっているから式(1)の定積分なら計算できるかもしれない。今、計算したいのは始点1と終点2が球面上(r=R)の場合なので、最下点(r=r0)でr方向が負から正に変わることに注意すれば、式(1)は次のようになる。
これに式(4)を代入して
この定積分はなんと前項と同じ形になっており値は πだったから、結局、所要時間はトンネルの深さ2a(=R-r0)で表せて
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前項と同様、始点と終点の距離を求めるには方程式(4)を積分しなければならない。答えは、大円(半径R)の中を小円(半径a)が転がるハイポサイクロイドだとわかっているので、2点間の距離は小円の1周分で2πaである。答えがわかっていても、式(4)は積分できそうもないので、逆にハイポサイクロイドの式から微分方程式を求めて式(4)と同じになるか、次項で確かめることにする。