ハイポサイクロイドの微分方程式
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大円(半径R)の中を小円(半径a)が転がるハイポサイクロイドの式は
これの微分方程式は
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ハイポサイクロイドの式から微分方程式を求めて、前項の最速降下曲線の方程式と同じになるかを確かめる。
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大円(半径R)の中を小円(半径a)が転がるハイポサイクロイドの式は、下図のように大円の中心を原点とする極座標(r,θ)で表すと
式(1)を見やすくするためRで規格化(a/R→ε、r/R→r)する。
ゴールである前項で求めた方程式(4)もRで規格化すると
つまり、(2)からパラメータ変数αを消去して(3)が得られればよい。
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式(2)を見るとx2+y2としてθを消去するのが簡単そうなのでやってみると
とcos(α)がrで表せた。
またr2を微分すればdrもcos(α)で表せるので
とdr/dαがrで表せた。
あとはdθが必要だが、これは元の式(2)を微分して
さっきと同様にx2+y2としてθを消去すると
これに式(5)を代入してdr/dαを消去すれば
式(5)(6)でdr,dθをrで表せたので、あとはdαを消去して
これで、ハイポサイクロイドの式(2)の微分方程式が式(3)になることが確かめられた。
一応、Rで規格化していたのを戻しておくと(a/R←ε、r/R←r)
