補足 - 密度が一様な球体内のポテンシャル
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密度が一様な球体内のポテンシャルは、球面上を基準U(R)=0にとると
ここで、Rは球体の半径、rは質点の位置、mは質点の質量、gは球面上の重力加速度。 |
逆2乗則の力の場合、
・球殻の内側では、球殻からの力はキャンセルしてゼロ(ポテンシャルは一定)になる。
・球体の外側では、質量が重心に集中したときと同じ力(同じポテンシャル)になる。
したがって、一様密度の球体内のポテンシャルは (内側の総質量) / r ∝ r3 / r = r2となる。
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一応、素直に計算してみる。
点r (0<r<R)にある質量mに対して、球体内からの重力ポテンシャルを積分して
ちなみに球体外(R<r)では
このポテンシャルの基準は無限遠でU(∞)=0だが、地表でU(R)=0に直すと
さらに地表での重力は
だから、重力定数Gの代わりに重力加速度gでポテンシャルを表すと
