平面上の2点間の最速降下曲線を解く
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一様な重力場の平面上の2点間を最速で結ぶトンネルはサイクロイド(距離2πa,深さ2a)で
所要時間は
ここで、重力加速度g=9.8 m/s2 ・東京-浜松町間(2π)kmの所要時間は1分=2π√(1000/9.8) s ・東京-大阪間400kmの所要時間は8分26秒 |
教科書に載っている「一様な重力場での平面上の2点間の最速降下曲線」の計算をなぞっておく。
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まず最速降下曲線の方程式を求めるには、始点1から終点2へ落ちる時間T(=距離/速さ)を最小にすればよい。
速さvはポテンシャルエネルギーで決まるから、深さ方向の座標yだけの関数になり
前項の結果から、これのEuler-Lagrange方程式は積分定数をC>0とおいて
dy/dx=1/x'について整理すれば、最速降下曲線の方程式が求まる。
速さv(y)の関数形を決めるため、ポテンシャルを一様な重力場とし始点1でU(y1)=0とすれば
また式(2)のルートの中が正であることから積分定数Cはvの最大値すなわち最下点での速度なので、最下点の座標(x0,y0)で表すと
これらを式(2)に代入して
これが一様な重力場での最速降下曲線の方程式である。
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この方程式(4)は常套手段では積分できそうにないが、y(x)が求められなくても微分x'は求まっているから式(1)の定積分なら計算できるかもしれない。今、計算したいのは始点1と終点2が同一平面上(y=y1)の場合なので、最下点(y=y0)でy方向が負から正に変わることに注意すれば、式(1)は次のようになる。
これに式(4)を代入して
この定積分も常套手段ではだめなのだが、y0<y<y1であることから天下り的に
とおくと
だから、うまいこと分母と分子がキャンセルして
と、所要時間がトンネルの深さ(2a)であらわせた。
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このままでは始点と終点のx方向距離がわからないので、やはり方程式(4)を積分しなければならない。
実は、上記と同じく式(5)とおくと積分できてしまう。
を方程式(4)に代入すると
この式(5)(5')が最速降下曲線の方程式(4)の一般解であり、始点(x1,y1)と最下点(y=y0)を決めると一意に決まる。つまり始点と終点(x2,y2)を決めると最下点y0は決まるので、最速降下曲線が一意に決まることになる。
今、求めたいのは始点1と終点2が同一平面上(y=y1)の場合なので、始点θ=πから終点θ=-πまでのx方向距離は式(5')から
つまり、2点間の距離2πaのとき深さ2aになる。
