気温と高度の関係式
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空気の気温Tと高度zの関係式
において、乾燥空気が断熱的に上昇した場合の気温減率(乾燥断熱減率)は
水蒸気が飽和した空気が断熱的に上昇した場合の気温減率(湿潤断熱減率)は
実際の大気では
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標準大気モデルでは、気温は高度の1次式として天下り的に与えられているが、空気の塊が断熱的に上昇したときにp,V,Tがどのように変化するかを熱力学で計算できる。なお、ここの計算は「一般気象学」(小倉義光)によっている。
◇
簡単のため、以下では空気の塊1kgに対して式を書くことにする。
空気1kgに対する静力学平衡の式は
空気1kgの状態方程式は
一方、熱力学の第一法則を理想気体に適用することにより
が得られる(→補足-理想気体の式)
ここで空気の塊への熱の出入りがゼロ(断熱過程)と仮定すると
これで、4つの変数p,V,T,zに対して3つの式(1)(2)(3)が得られた。
(1)(3)からdpとVが同時に消去できて温度Tと高度zの関係が決まる。
◇◇◇
この係数Γも理論的に決まる。すなわち、空気(N2,O2)のような２原子分子の定圧比熱は(→補足-理想気体の式)
したがって
このΓの計算値9.8[K/km]は標準大気モデルの6.5[K/km]と異なっているが、その理由は、空気中に含まれる水蒸気が凝結する効果を考慮していないためである。すなわち、対流圏の上層では空気は乾燥していてΓはこの計算値に近くなるが、地上付近では空気は湿っているので上昇して温度が下がると水蒸気が凝結して潜熱を出すので、気温減率Γは小さくなる。したがって、標準大気モデルは、乾燥空気と水蒸気が飽和した空気の中間的な値を使っている。
◇◇◇◇
次に、水蒸気が飽和した空気の場合を計算してみる。
湿った空気が、乾燥空気1[kg]と水蒸気 r[kg]から成るとすると、それぞれの状態方程式は
（Rは1mol当たりの気体定数、Mは分子量）
であり、湿った空気全体の状態方程式は
となる。これらに加えて、静力学平衡の式
と、熱力学第一法則の式
が成り立っている。
ここで、水蒸気の量rは独立な変数ではなく、温度Tによって飽和蒸気圧pwaterは決まっている(→補足-飽和蒸気圧)ので、T,Vが決まれば状態方程式(5)からrは決まってしまう。
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T[℃] |
pwater[hPa] |
|
0 |
6.1 |
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10 |
12.2 |
|
20 |
23.3 |
|
30 |
42.3 |
|
40 |
73.6 |
|
50 |
123.1 |
|
60 |
198.7 |
|
70 |
310.9 |
|
80 |
472.7 |
|
90 |
700.3 |
|
100 |
1013.4 |
したがって、空気の塊が上昇する(z+dz)と、温度が下がり(T+dT)、空気が保持できる水蒸気の量は減り(r+dr(dr＜0))、余分な水蒸気(-dr)が凝結して、潜熱(latent heat) Lを放出する(d'Q=-Ldr)。すなわち熱力学第一法則の式(3)は
となる。
◇◇◇◇◇
これで、前提となる式がすべて出そろった。メインの方程式は(3')であり、これからTとz以外の変数を消去していけばよい。
まず(3')の右辺は(1)を使って簡単にTとzで表せる。
次に(3')の左辺を計算する。水蒸気の量rは(4)(5)から
変数のうちpwaterは温度Tの関数として決まっている。pairは(p - pwater)で計算できるが、実際にはpwaterは0℃から20℃のとき大気圧pairの2%以下しかないので
と近似してしまえば
さらにdp/pを(1)と(6)を使ってdzで置き換えると
これを(3'')の右辺に入れて
整理して
したがって、乾燥空気の気温減率Γdry
に対して、水蒸気が飽和している空気の気温減率Γmoistは
ここで物理定数は、気体定数と分子量が
空気の定積比熱が
乾燥空気の気圧pairは、前々項で求めた式を使って温度Tから計算できる。
全体の気圧pはpairで近似する。
水蒸気圧pwaterは温度Tの関数として計算できる。(→補足-飽和蒸気圧)
乾燥空気1kgに対する水蒸気量(の割合) rはpairとpwaterから計算できる。
水の蒸発熱Lは、ほぼ一定とみなす。
結局、(8)の右辺は温度Tの関数として計算できるので、数値を入れて計算すると次表のようになる。
|
T [℃] |
pair [hPa] |
pwater [hPa] |
dpwater/dT [hPa/K] |
r |
Γmoist /Γdry |
Γmoist [K/km] |
|
20 |
1109 |
23.3 |
1.485 |
0.0131 |
0.422 |
4.1 |
|
15 |
1013 |
17 |
1.128 |
0.0104 |
0.481 |
4.7 |
|
10 |
924 |
12.2 |
0.846 |
0.0082 |
0.545 |
5.3 |
|
5 |
841 |
8.66 |
0.626 |
0.0064 |
0.613 |
6.0 |
|
0 |
765 |
6.05 |
0.457 |
0.0049 |
0.681 |
6.7 |
すなわち、水蒸気が飽和している空気の気温減率Γmoistは、乾燥空気の気温減率Γdryの半分ぐらいに小さくなる。
実際には、
となっているそうである。