補足 - 理想気体のいろいろな式

[] [] []


熱力学の第一法則

理想気体の状態方程式

理想気体の内部エネルギU

これらを使って、第一法則を書き換えると

特に気体への熱の出入りがゼロ(断熱過程)の場合pTの関係は

定積比熱は気体分子の自由度によって決まる

1原子分子の場合(自由度3)

2原子分子の場合(自由度5)

多原子分子の場合(自由度6)

理想気体の塊(圧p、体積V、温度T)に対して、この章で使う熱力学の関係式を導く

前提として、熱力学の第一法則

理想気体の状態方程式

理想気体の内部エネルギーUは温度にだけ依存する:

を仮定する。

◇◇

(3)(1)代入すると

体積一定(dV=0)のとき熱の出入りd'Qと温度Tが比例しているからCv定積比熱である。

(2)を微分した

を使って(1')書き換えると

圧力一(dp=0)のとき熱の出入りd'Qと温度Tが比例しているからCp定圧比熱である。

◇◇◇

気体への熱の出入りがゼロ(断熱過程)の場合

(2)を使ってVを消去すると、圧力pと温度Tの関係式(ポアソンの法則)が得られる。

◇◇◇◇

(3)内部エネルギーと温度の係数Cvは、熱力学からは出てこないが、気体分子が自由運動(相互作用なし)しているモデルから計算できる

簡単のため底面積S、長さlの容器の中に、気体分子が1mol (アボガドロ数NA)だけ入っているとする。

i番目の分子の速度をviとおき、壁ではね返ったときの力積をF冲とおくと

分子がこの壁に当たる時間間隔は、x方向を往復する時間だから

したがって

左辺を壁の受ける圧pと容器の体積V置き換えると

これを、理想気体1molの状態方程式

と比較すると、温度と運動エネルギーの関係式が得られる。

ざっくり言えば、温度kTとは分子1個の1自由度あたりのエネルギー(2)と思えばよい。

◇◇◇◇◇

1原子分子の場合、内部エネルギーはNA個の分子の運動エネルギーの総和になるから

x,y,z方向のエネルギーが等分と仮定すれば

したがって、定積比熱は

同様に2原子分子の場合、2個の原子が空間の3方向に運動できるが、原子間の距離は固定されているので、自由度は6-1=5であり、

3原子以上の多原子分子の場合2原子分子に1個の原子(自由度3)が付け加わるが、2原子との間の距離は固定されているので、自由度は5+3-2=64原子以上の場合、1個の原子を付け加えるとともに3原子との間の距離は固定されているので自由度は6ままであり、結局


[] [] []