球面上の2点間の最速降下曲線もサイクロイドか？
平面上の2点間の最速降下曲線はサイクロイドになるという話は、中学生のときブルーバックスか何かで読んで、どうやったら計算できるのか疑問だった。大学に入ると力学の教科書に変分法の応用例として出てくるのだが、歴史上の余話扱いで、よく勉強しないまま忘れてしまった。たしかに方程式が普通に解ける形ではなく、天下り的にサイクロイドが解と示されるだけなので、教科書の例としてはふさわしくないのだろう。
最近「古典力学の形成」(山本義隆)という本を読んで、Euler-Lagrange方程式の話がわかりやすく書かれていて、球面の場合もサイクロイド(平面でなく球面を転がるハイポサイクロイド)になるかと思って計算してみたが挫折した。その後「Mathematical Methods for Physicists」(Arfken)の演習問題の脚注に、球面の場合もハイポサイクロイドになると書かれていたのを見つけて、再挑戦したのが本章の元ネタである。
※最速降下曲線の英語brachistochorone(ブラキストクローン)は、ギリシャ語で brachistos(最短) chronos(時間)という意味らしい。