バネ力(調和振動子)の場合を極座標で解く
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極座標での方程式は
バネ力の場合
軌道は楕円になる
ここで、平均半径aと離心率εは、力の係数kとエネルギーEと角運動量lで決まる。
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逆2乗則の中心力の場合に軌道が楕円になることは有名だが、バネ力の場合も楕円になる。バネ力は古典物理でも量子物理でもよく出てくるが、その軌道が楕円になることは意識したことがなかった。あらためて「力学」(ランダウ・リフシッツ)を見たら、軌道が楕円になるというだけでなく、軌道が常に閉じるのは、逆2乗則とバネ力の場合だけでかなり特殊なことらしい。
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バネ力の場合の軌道を計算してみよう。
を極座標での方程式
に代入するとdrとdφの方程式は
したがって角度の積分定数をφ0とおくと、次の軌道の式が得られる。
典型的な楕円の式と比較すると(→補足-楕円の式のいろいろな形)
cosの符号が逆なので積分定数はφ0＝π/2と選べばよく、平均半径aと離心率εは、力の係数kとエネルギーEと角運動量lで次のように表せる。
エネルギーが大きいほど平均半径が大きくなり、角運動量が大きいほど楕円が細長くなることがわかる。