バネ力(調和振動子)の場合を極座標で解く

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極座標での方程式は

バネ力の場合

軌道は楕円になる

ここで、平均半aと離心率εは、力の係数αとエネルギーEと角運動lで決まる。

2乗則の中心力の場合に軌道が楕円になることは有名だが、バネ力の場合も楕円になる。バネ力は古典物理でも量子物理でもよく出てくるが、その軌道に注目することはほとんどないので、楕円になることは意識したことがなかった。あらためて「力学」(ランダウ・リフシッツ)を見てみたら、軌道が楕円になるというだけでなく、軌道が常に閉じるのは、逆2乗則とバネ力の場合だけでかなり特殊なことらしい。

バネ力の場合の軌道を計算してみよう。

を極座標での方程式

に代入するrφの方程式は

したがって角度の積分定数をφ0とおくと、次の軌道の式が得られる。

典型的な楕円の式と比較すると(補足-楕円の式のいろいろな形)

cosの符号が逆なので積分定数はφ0π/2と選べばよく、平均半径aと離心率εは、力の係数kとエネルギーEと角運動lで次のように表せる。

エネルギーが大きいほど平均半径が大きくなり、角運動量が大きいほど楕円が細長くなることがわかる。


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