逆2乗則の力の場合を直交座標で解く

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逆2乗則の力の場合の積分は

これを直交座標で表すと

したがって軌道は楕円になる

ここで、平均半径aは離心率εと力の係数αと角運動lで決まる。

いよいよ直交座標で解く方法を考えてみる。

前々項で求めた2つの積分は

であるが、極座標のときと違って、2変数のうち片方を消去できずに行き詰ってしまう。たぶん、これが直交座標での解法が教科書に載っていない理由なのだろう。

しかたがないの(1)(2)以外の積分を探す。というか、ずるをして答えの楕円の式

から逆にたどってしまおう。定数al,m,α戻して

rcosφをxyで表すと

この式を(2)と見比べると

になっているはずである。すなわち(1)(2)以外の積分して

があることが予想される。実際に時間微分して確かめてみると確かにゼロになる。

◇◇

結局、積(2)の他に積分(3)が成り立つことがわかった。(2)(3)からx,yの時間微分を消去できるので、これらの積分定数を決めると軌道が決まる。実際、(3)において積分定数

と決めると、(2)(3)からx,yの時間微分を消去して

と楕円の式が導かれる(楕円の式から(3)の積分を見つけたのだから当たり前である)。

ここで、平均半径aは離心率εと力の係数αと角運動lで決まっている。

◇◇◇

お、(3)はベクトルでも書ける。(日、Runge-Lenz vectorいう名前がついていることを知った)

(3')からわかるように、このベクトルεは楕円の中心から焦点へ向かい大きさが離心率のベクトルになっている。

時間微分するとゼロになることも確かめられる。

(3')によるとLεは垂直だから、積分定数の数はεLを合わせた6個のうち独立なのは5個であることに注意。


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