逆２乗則の力の場合を直交座標で解く
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逆２乗則の力の場合の積分は
これを直交座標で表すと
したがって軌道は楕円になる
ここで、平均半径aは離心率εと力の係数αと角運動量 lで決まる。
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いよいよ直交座標で解く方法を考えてみる。
前々項で求めた２つの積分は
であるが、極座標のときと違って、２変数のうち片方を消去できずに行き詰ってしまう。たぶん、これが直交座標での解法が教科書に載っていない理由なのだろう。
◇
しかたがないので(1)(2)以外の積分を探す。というか、ずるをして答えの楕円の式
から逆にたどってしまおう。定数aをl,m,αに戻して
rとcosφをxとyで表すと
この式を(2)と見比べると
になっているはずである。すなわち(1)(2)以外の積分として
があることが予想される。実際に時間微分して確かめてみると確かにゼロになる。
◇◇
結局、積分(2)の他に積分(3)があることがわかった。(2)(3)からx,yの時間微分を消去できるので、これらの積分定数を決めると軌道が決まる。実際、(3)において積分定数を
と決めると、(2)(3)からx,yの時間微分を消去して
と楕円の式が導かれる。(楕円の式から(3)の積分を見つけたのだから当たり前である)
ここで、平均半径aは離心率εと力の係数αと角運動量 lで決まっている。
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なお、(3)はベクトルでも書ける。(後日、Runge-Lenz vectorという名前がついていることを知った)
(3')からわかるように、このベクトルεは楕円の中心から焦点へ向かい大きさが離心率になっている。
時間微分するとゼロになることも確かめられる。
(3')によるとLとεは垂直だから、積分定数の数はεとLを合わせた6個のうち独立なのは5個であることに注意。