フーリエ変換とDFTの関係
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(0) フーリエ変換
(1) フーリエ変換をt軸で周期化x(t)=x(t+T)すると、フーリエ級数になる
(2) フーリエ級数をt軸で離散化すると、離散フーリエ変換【DFT】になる
(3) フーリエ変換をt軸で離散化(間隔tS)すると、離散時間フーリエ変換【z変換】になる
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フーリエ変換とDFTの関係は、前章の離散化と周期化の性質を使うと次図のように整理されて、わかりやすくなる。
フーリエ変換からDFTまでを式でたどってみる。
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(1) フーリエ変換からフーリエ級数へ
信号x(t)を周期Tで周期化すると
その周波数スペクトルは離散化する。(→離散化と周期化)
ここで
これを逆フーリエ変換すると積分は級数になり、結局、周期信号x(t)はフーリエ級数であらわされることがわかる。
ここでフーリエ級数の係数は
ちなみに、普通の教科書では本稿とは逆に、フーリエ級数の周期Tを無限大に広げるとフーリエ変換になると説明されている。
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(2) フーリエ級数から離散フーリエ変換(DFT)へ
周期信号x(t)の周期TをN等分して離散化(サンプリング)し
フーリエ級数の係数の積分を短冊(dt=T/N)の和で近似すると
となる。exp(-j2πnk/N)はkについて周期Nを持つから、この近似した係数も周期Nを持つ。したがって、この近似した係数をそのまま代入すると発散してしまう。
そこで、kがN以上になる高周波成分は0と見なすことにすると
級数は有限の和になる。
すなわち、フーリエ級数をt軸で離散化し高周波成分を0と見なすと離散フーリエ変換になる。
上記の式で係数を次のように置き換えると、通常の離散フーリエ変換(DFT)と逆離散フーリエ変換(IDFT)の式が得られる。
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(3) フーリエ変換から離散時間フーリエ変換(z変換)へ
信号x(t)を間隔tsで離散化(サンプリング)すると
その周波数スペクトルは周期化する。(→離散化と周期化)
XS(ω)を帯域|ω|<π/tSだけ切り出したものがX(ω)だから、これを逆フーリエ変換すると係数x(t)が求められる。
上記の式で係数を次のように置き換えると、通常のz変換の式が得られる。
