フーリエ変換とDFTの関係

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(0) フーリエ変換

(1) フーリエ変換においてt軸で周期化x(t)=x(t+T)すると、フーリエ級数になる

(2) フーリエ級数においてt軸で離散化すると、離散フーリエ変換DFTになる

(3) フーリエ変換においてt軸で離散化(間隔tS)すると、離散時間フーリエ変換z変換】になる

フーリエ変換DFTの関係は、前章の離散化と周期化の性質を使うと次図のように整理されて、わかりやすくなる。

フーリエ変換かDFTでを式でたどってみる。

(1) フーリエ変換からフーリエ級数へ

x(t)を周期Tで周期化すると

その周波数スペクトルは離散化する。(離散化と周期化)

ここで

これを逆フーリエ変換すると積分は級数になり、結局、周期信号x(t)はフーリエ級数であらわされることがわかる。

ここでフーリエ級数の係数は

ちなみに、普通の教科書では本稿とは逆に、フーリエ級数の周期Tを無限大に広げるとフーリエ変換になると説明されている。

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(2) フーリエ級数から離散フーリエ変換(DFT)

周期信x(t)の周期TN等分して離散化(サンプリング)

フーリエ級数の係数の積分を短冊(dt=T/N)の和で近似すると

となる。exp(-j2πnk/N)kについて周期Nを持つから、この短冊で近似したフーリエ係数も周期Nを持つ。したがって、フーリエ級数の係数を、この短冊で近似した係数に単に置き換えると発散してしまう。

そこでkN以上になる高周波成分は0と見なすことにすると

級数は有限の和になる。

すなわち、フーリエ級数をt軸で離散化し高周波成分を0と見なすと離散フーリエ変換になる

上記の式で係数を次のように置き換えると、通常の離散フーリエ変換(DFT)逆離散フーリエ変換(IDFT)式が得られる。

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(3) フーリエ変換から離散時間フーリエ変換(z変換)

x(t)を間隔tsで離散化(サンプリング)すると

その周波数スペクトルは周期化する。(離散化と周期化)

XS(ω)を帯域|ω|<π/tSだけ切り出したものがX(ω)だから、これを逆フーリエ変換すると係数x(t)求められる。

上記の式で係数を次のように置き換えると、通常z変換の式が得られる。


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