DFTはフーリエ変換の近似か?

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校では、積分を近似的に計算する方法として短冊に切って和を取る方法を習うので、「DFTFFTはフーリエ積分を近似的に数値計算する方法だ(!?)」と思っていた。ところがデジタル信号処理の本を読むときは、この先入観が邪魔になるようなのである。

デジタル信号処理では、アナログ信号をサンプリングし、得られた観測値を使って元のアナログ信号の性質を計算する。(さらに信号値もデジタル化しているが、今の文脈ではデジタル化するしないは関係ない) サンプリングすることは短冊に切ることと同じく近似にはちがいないのだが、このサンプリング間隔はAD変換器の性能で決まってしまい、近似を良くするために好き勝手に細かくできない。したがって、サンプリングした観測値を正として考え、DFTも近似計算ではなく厳密な計算と考える。ただしその計算結果は、元のアナログ信号から計算されるはずのものとは差異がある。すなわちサンプリングすることにより周波数軸に折り返しとかエイリアシングとか呼ばれるものが現れるので、DFTを使うときはこれに慣れておかなければならない


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