補足 - ディリクレ核

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ディリクレ核N→∞の極限では周期的δ関数になる

このω軸での周期的δ関数を逆フーリエ変換すると、t軸での周期的δ数になる

次の正弦波の重ね合わせ

ディリクレ核と呼ばれ、グラフを描くと周波数f=k/(k=整数)にピーク(幅≒1/NT,高さ≒2N)もっている。

N→∞の極限では周期的δ関数になると予想されるが、それを確かめる。なお、以下の計算は「やさしいフーリエ変換」(松尾博)によっている。

δ関数であるかは、任意の関数φ(ω)対して

となっていることを確かめればよい。ディリクレ核を各ピーク付近の範囲|ω-2πk/T|<π/Tだけ切り出して

とおくと

ピーク付(ω≒2πk/T)だけが積分に寄与するので、φ(ω)はほぼ一定値φ(2πk/T)と見なせ、sin(εT/2)εT/2近似できて

とδ関数になっていることが確かめられた。(→定積分はいろいろな関数のフーリエ変換による)

結局N→∞の極限ではディリクレ核は周期的δ関数にな

次に、これの逆フーリエ変換を計算しておくと

右辺の級数は、上記の結果

において、変数ω→tT →2π/T,n→k,k→nと置き換えれば

となる。結局、ω軸での周期的δ関数を逆フーリエ変換すると、t軸での周期的δ関数になる


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