補足 - ディリクレ核
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ディリクレ核はN→∞の極限では周期的δ関数になる
このω軸での周期的δ関数を逆フーリエ変換すると、t軸での周期的δ関数になる
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次の正弦波の重ね合わせ
はディリクレ核と呼ばれ、グラフを描くと周波数f=k/T(k=整数)にピーク(幅≒1/NT,高さ≒2N)をもっている。
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N→∞の極限では周期的δ関数になると予想されるが、それを確かめる。なお、以下の計算は「やさしいフーリエ変換」(松尾博)によっている。
δ関数であるかは、任意の関数φ(ω)に対して
となっていることを確かめればよい。ディリクレ核を各ピーク付近の範囲|ω-2πk/T|<π/Tだけ切り出して
とおくと
したがって各ピーク付近の積分は
さらにピーク付近(ω≒2πk/T)だけが積分に寄与するので、φ(ω)はほぼ一定値φ(2πk/T)、sin(εT/2)はεT/2で近似できて
とδ関数になっていることが確かめられた。(→定積分はいろいろな関数のフーリエ変換による)
結局、N→∞の極限ではディリクレ核は周期的δ関数になる。
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次に、これの逆フーリエ変換を計算しておくと
右辺の級数は、上記の結果
において、変数をω→t、T →2π/T,n→k,k→nと置き換えれば
となる。結局、ω軸での周期的δ関数を逆フーリエ変換すると、t軸での周期的δ関数になる。