フーリエ変換の対称性
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信号x(t)は、周波数ωの正弦波exp(jωt)の重ね合わせで表される【逆フーリエ変換】
このとき周波数スペクトルX(ω)は信号x(t)から同じ形の式で計算できる【フーリエ変換】
これらは同じ形をしているので、フーリエ変換で成り立つことは逆フーリエ変換でも成り立つ |
フーリエ変換の定義にはいろいろ流儀があるようだが(→補足-フーリエ変換の位相の定義)、本稿では上記のとおりとする。
この関係式がなぜ成り立つかは、n次元ベクトルxとのアナロジーで考えるとよい。ベクトルxは直交基底eiで展開できて、その成分はxとeiの内積である。
時間の関数x(t)はtをインデックスとする無限次元のベクトルだと見なすと、正弦波exp(jωt)はωの種類だけ(無限個)ある基底になっており、これでx(t)は展開できる、というのが逆フーリエ変換の式の意味である。
しかも、この正弦波の基底は直交している(内積が0)
ので、その係数X(ω)はx(t)と正弦波の内積をとったものである
というのがフーリエ変換の式である。
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ただし、どんな関数x(t)でも正弦波で展開できるわけではなく、例えば定数関数x(t)=1のように定常的に続く信号はX(ω)が発散してダメなことはすぐわかる。
信号x(t)の全エネルギーが有限
ならば、ほとんどの場合はフーリエ変換できるが、できない場合もあるらしい。
絶対値の積分が有限
という条件をつけると必ずフーリエ変換できるらしいが、条件が厳しすぎる。このようにフーリエ変換が存在するかは難しいので、本稿では、直観的に正しく計算できればよしとする。例えば上記で使ったDiracのδ関数
は、積分の中でのみ意味をもち、任意の関数f(ξ)に対して
になるという代物で、フツーの関数ではないが便利なので使うことにする。
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(用語の補足) 正弦波といえば狭義にはsin(ωt)だが、本稿ではexp(jωt)やcos(ωt)など単一周波数の波をすべて正弦波と呼ぶことにする。また周波数fと角周波数ω=2πfはどちらも単に周波数と呼ぶことにする。文字で区別がつくので。