フーリエ変換の対称性

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信号x(t)は、周波数ωの正弦波exp(jωt)の重ね合わせで表される 【逆フーリエ変換】

このとき周波数スペクトルX(ω)は信号x(t)ら同じ形の式で計算できる 【フーリエ変換】

これらは同じ形をしているので、フーリエ変換で成り立つことは逆フーリエ変換でも成り立つ

フーリエ変換の定義にはいろいろ流儀があるようだが(補足-フーリエ変換の位相の定義)、本稿では上記のとおりとする。

この関係式がなぜ成り立つかは、n次元ベクトルxとのアナロジーで考えるとよい。ベクトルxは直交基底eiで展開できて、その成分はxeiの内積である。

時間の関数x(t)tをインデックスとする無限次元のベクトルだと見なすと、正弦波exp(jωt)ωの種類だけ(つまり無限個)ある基底になっており、これでx(t)は展開できる、というのが逆フーリエ変換の式の意味である。

しかも、この正弦波の基底は直交(内積が0)している

ので、その係X(ω)x(t)と正弦波の内積をとったものである

というのがフーリエ変換の式である。

ただし、どんな関x(t)でも正弦波で展開できるわけではなく、例えばx(t)=1(一定値)のように信号が定常的に続くとX(ω)が発散してダメなことはすぐわかる。

信号x(t)の全エネルギーが有限

ならば、ほとんどの場合はフーリエ変換できるが、できない場合もあるらしい。

絶対値の積分が有限

という条件をつけると必ずフーリエ変換できるらしいが、条件が厳しすぎる。このようにフーリエ変換が存在するか否かは難しいので、本稿では、直観的に正しく計算できればよしとする。例えば上記で使ったDiracδ関数

というのは、積分の中でのみ意味をもち、任意の関数f(ξ)に対して

になるという代物で、フツーの関数ではないのだが、計算するには便利なので使うことにする。

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(用語の補足)

正弦波といえば狭義にはsinωt)のことだが、本稿ではexp(iωt)cos(ωt)などの単一周波数の波をすべて正弦波と呼ぶことにする。単色波と呼ぶと電磁波のイメージに限定されてしまうし、適当な用語が思いつかないので。また周波数fと角周波数ω=2πfはどちらも単に周波数と呼ぶことにする。文字で区別がつくので。


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