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ステップ関数はt=0で不連続だが、フーリエ変換を使うと1つの式で表せる (1) 1/ωの逆フーリエ変換は符号関数
(2) 1/(ω-jε)の逆フーリエ変換はステップ関数
(3) 上記2つの関係式。Pはコーシーの主値であることを示す。
(4) t=0から始まる正弦波
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いずれも、ωの複素平面で半径→∞の上半円か下半円に沿って周回積分すると
・0<tならば上半円周の積分がゼロ、t<0ならば下半円周の積分がゼロになる
・半円内に極が含まれなければゼロ、含まれば非ゼロになる
ので、極をωの実軸から上か下にずらせば、t<0か0<tかでゼロか非ゼロになるステップ関数が表せるというわけである。(極が実軸上にあると片方がゼロにならず正負半分づつに分かれる)
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(1) 1/ωの逆フーリエ変換は符号関数
まず0<tのときは、極ω=0を迂回した上半円に沿って周回積分するとゼロになる
R→∞とすると大きい半円周の積分はゼロになる
またr→0とすると小さい半円周の積分は−πjになる
結局、r→0、R→∞のとき、
同様にt<0のときは極ω=0を迂回した下半円に沿って周回積分すれば、大きい半円周ではゼロになり、小さい半円周ではπjになる
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(2) 1/(ω-jε)の逆フーリエ変換はステップ関数
まず0<tのときは、上半円に沿って周回積分すると極jεを含むから2πje−εtになる
R→∞とすると大きい半円周の積分はゼロになる
したがって
t<0のときは、下半円に沿って周回積分すると極jεを含まないからゼロになり、また大きい半円周ではゼロになるから
結局、ε→+0とすればステップ関数になる
ちなみに複素共役をとれば
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上記(1)(2)を見比べるとj/2だけオフセットしており、次の関係式になっている。(1)の方はコーシーの主値といってPをつけて表す。
ちなみに複素共役をとれば
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(4) t=0から始まる正弦波
(この式は、電磁波の先端速度が光速を超えないことの説明や、因果律を入れた単振動のGreen関数で出てくる。)
上記(2)を使えば
だから
