多重反射の式の導出

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送信端に直列抵抗R_S、受信端に並列抵抗R_Tを入れた伝送線路では反射を繰り返す(多重反射)

ここでτはx=0からx=lまでの伝搬時間、Γ_S、Γ_Tは送信端、受信端の反射係数

波形は伝送線路上を形を保ったまま平行移動するので、伝搬時間と反射係数から任意の時間の波形を手計算できるが面倒である。そこで、一般的な多重反射の式を導いておく。

◇

まず境界条件は

送信端(x=0)

受信端(x=l)

これをラプラス変換したもの

送信端(x=0)

受信端(x=l)

に伝送線路の一般解(→補足 - 伝送線路方程式の一般解)

を代入すると

係数Va,Vbについて整理して

ここでR_S,R_T,lの代わりに、x=0からx=lまでの伝搬時間τと送信端、受信端の反射係数Γ_S、Γ_T

を使うと

係数V_bを消去してV_aが求まる。

ここで、最後の行では時間遅れ因子exp(-2τs)を分母から分子に移すために1/(1-x)を級数展開した。この級数が多重反射を示している。

係数V_bはV_aから簡単に求まり、これらを一般解に代入して特殊解が求まる。

さらにτ>0, v(t)=0 (t<0)のとき

であることを使って逆ラプラス変換すると、時間領域の特殊解が求まる。

◇◇

上記では、初期条件「t=0でv(x,0)=0,i(x,0)=0」の一般解を使うために境界条件も0V基準としたが、一般に送信端の電圧V_SSや終端電圧V_TTが0Vでない場合は、単に直流成分が足されるだけである。

すなわち0V基準の回路と直流成分の回路を重ね合わせると

次の回路になる。

したがって、この回路の波形は0V基準の波形に直流成分が足されるだけで、波形の形は変わらない。

例えば、送信電圧がHigh(Vss)からLow(0V)へ立ち下がるときの波形は、v₀(t)が0から-v₀へマイナス側に振れた波形を考えればよい。

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