オシロスコープの立ち上がり時間と帯域幅

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(1) オシロスコープの立ち上がり時間 Rise Time (RT)と帯域幅Bandwidth (BW)の関係式は

  RT [ns] = 0.35 / BW [GHz]

(2) 測定波形のRToは入力のRTiとオシロスコープのRT2乗和の平方根になる

  RTo = SQRT(RTi2 + RT2)

0.35というマジックナンバはどこから出てきたのだろうか

一般にサンプリング周波数の1/2以上の高周波成分は測定できないので、オシロスコープの入力段にはローパスフィルタが入っている。したがって立ち上がり時間ゼロの入力波形でも、なまった波形として測定される。上記の関係式は、フィルタを指数関数と仮定したとき、ステップ応答の立ち上がり時間RTとフィルタの帯域幅BWの関係

となることを使っている。ここで、立ち上がり時間は振幅が10%から90%に達するまでの時間、帯域幅は入力に対して出力のパワー(振幅の2)50%になる周波数という定義である。帯域幅の定義は、正と負に広がっている周波数スペクトル全体の幅とする場合もあるが、ここでは中心ω=0の片側の幅と定義していることに注意。

上記の関係式は次のように計算できる。

フィルタを指数関数、入力をステップ関数とすると

出力は

立ち上がり時間は振幅y(t)10%から90%に達するまでの時間だから

とおくと

一方、フィルタのフーリエ変換は

帯域幅はパワーが50%に落ちる周波数だから

記の2式からτを消去すると、指数関数のフィルタに対するRTBWの関係が得られる

実際のオシロスコープのフィルタがどんな回路かは知らないが、純粋な指数関数フィルタ(RC回路)ということはないであろう。

◇◇

フィルタ特性をガウシアンと仮定している場合もあり、その場合は

と書いてある。この関係式も計算してみよう。ガウシアンフィルタは

ここでフィルタのすそは過去t<0にさかのぼって延びていると仮定している。もし上記の指数関数と同様にt<0h(t)=0と仮定すればRTは半分になることに注意。

ステップ応答は

立ち上がり時間を数値計算で求めると

一方、フィルタのフーリエ変換は

帯域幅はパワーが50%に落ちる周波数だから

τを消去すると、ガウシアンフィルタに対するRTBWの関係が得られる

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さて、出力の立ち上がり時間RToは入力のRTiとフィルタのRT2乗和の平方根になるといわれるが、どうしてそうなるのだろう

この式の根拠は、時定数τ1τ2であ2個のガウシアンフィルタを直列につなぐと

結果は1個のガウシアンフィルタになり、その時定数はτ1τ22乗和の平方根になる

という事実に依っている。(補足-ガウシアンフィルタの直列接続)

RTは時定数τに比例するから、時定数が2乗和になるならばRT2乗和になる。

このように、立ち上がり時間が2乗和の平方根になるという式は、入力波形がガウシアンフィルタのステップ応答で、かつオシロスコープがガウシアンフィルタであるという前提条件のときだけ厳密に成り立ち、一般に成り立つ式ではない


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