S/N比を最大にする受信フィルタの帯域幅
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パルス幅τの矩形波をバンドパスフィルタ(BPF)に通したとき、ピーク値のS/N比を最大にする帯域幅Bは B [GHz] =1.4/τ[ns] |
この1.4というマジックナンバはどこから出てきたのだろうか
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入力はパルス幅τの矩形波
一方、バンドパスフィルタは
ここで帯域幅Bは周波数軸の正負の片側でなく両側をとった幅であることに注意。
出力を計算すると
数値積分しやすいようにパラ―メータBが積分範囲の方に来るように変数を置換して
出力波形y(t)が最大になる帯域幅Bは
からB=2n/τのときで、実際にy(t)のグラフを描いてみると
のときy(t)のピークが最大になることがわかる。
一方、帯域幅Bを広くすると入力にのっている雑音も多く通過する。今、雑音の周波数スペクトルを一様(白色雑音)と仮定すると、フィルタを通過する雑音のパワーは
とBに比例して増える。
したがって、出力波形y(t)のピーク値のS/N比
を最大にするBτ値は、雑音がないときのBτ=2よりも小さくなるはずで、Bτ値を変えてグラフを描いてみると
のときS/N比が最大になる。
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上記ではフィルタをバンドパスフィルタに限定したが、一般にS/N比を最大にするフィルタは自己相関をとればよいから(→補足-マッチドフィルタ)
このときの出力波形は
また通過する雑音のパワーは
したがってマッチドフィルタを使ったときのS/N比は
一方、上記のバンドパスフィルタを使ったときのS/N比の最大値は数値計算により
であったから、バンドパスフィルタでもそこそこ良いS/N比が得られている。