S/N比を最大にする受信フィルタの帯域幅

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パルス幅τの矩形波をバンドパスフィルタ(BPF)に通したとき、ピーク値のS/N比を最大にする帯域幅B

B [GHz] =1.4/τ[ns]

1.4というマジックナンバはどこから出てきたのだろうか

入力をパルス幅τの矩形波とすると

一方、バンドパスフィルタは

ここで帯域幅B周波数軸の正負の片側でなく両側をとった幅と定義していることに注意。

出力を計算すると

数値積分しやすいようにパラ―メータBが積分範囲の方に来るように変数を置換して

出力波y(t)最大になる帯域幅B

B=2n/τのときで、実際にy(t)のグラフを描いてみると

のとy(t)のピークが最大になることがわかる。

一方、帯域Bを広くすると雑音も多く通過する。入力に重畳する雑音の周波数スペクトルを一様 (白色雑音)と仮定すると通過する雑音のパワーは

B比例して増える。

したがって、出力波形y(t)のピーク値のS/N

を最大にする値は、雑音がないときBτ=2よりも小さくなるはずで、実際に値をいろいろ変えてグラフを描いてみると

のときS/N比が最大になる。

上記ではフィルタをバンドパスフィルタに限定したが、一般にS/N比を最大にするフィルタはどんな形状になるだろうか

出力信号y(t)がピークになるのがt=t0のときとすると、信号のピーク値は

入力に重畳する雑音の周波数スペクトルを一定(白色ノイズ)と仮定すると、通過する雑音のパワーは

したがっS/N比は

ここで等号が成り立つのは次のとき

すなわち

このように雑音を含む入力信号に対してピーク値のS/N(signal to noise ratio)を最大にするフィルタを整合フィルタ(matched filter)といい、白色雑音を仮定すると入力波形を左右反転させてピークがt=0に来るように平行移動させた形になる

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上記の矩形波の入力

に対する整合フィルタは

になる。このときの出力波形は

また通過する雑音のパワーは

したがって整合フィルタを使ったときのS/N比は

一方、上記のバンドパスフィルタを使ったときのS/N比の最大値は数値計算により

であったから、バンドパスフィルタでもそこそこ良S/Nが得られている。


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