自由運動する波束を数値的に解く

前項の時間発展を数値計算する方法を、自由運動する波束に適用してみる。

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波束の初期状態として、次のようなガウシアンを選ぶ。

波束の運動量pのとき波長は2π/pだから、x座標の刻みはこれより十分小さく選ばなければならない

時間の刻みは、係数

の実部と虚部が同程度の大きさになるように選べばよい。

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dx,dtを変えて数値解(実線)を計算し、解析解(点線)と比較してみると次のようになり、dx=2^-7 , dt=2^-12ぐらいの精度で十分と思われる。

(1) dx=2^-5 , dt=2^-8 のとき、解析解とのずれが目立つ

(2) dx=2^-5, dt=2^-10のとき、見た目は解析解とほぼ一致する。

(3) dx=2^-7 , dt=2^-12 のとき、若干よくなる。

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波束の初期状態をガウシアンでなく三角波にしてみる。

幅の期待値が同じガウシアンの解析解(点線)と比べてみると、時間とともに波形がなまってガウシアンっぽくなってくるが、同じになるわけではなくSinc関数っぽい尾ひれがついている。

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次に、自由運動(F=0)でなく一様な場(F=4)にしてみる。

位置の期待値<x>も計算すると、ちゃんと等加速度運動している。

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