波動力学と行列力学の解法の違い

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【問題】 座qと運動量pが次の交換関係を満たすエルミート演算子であるとして

qpで表わされるエルミート演算子Hの固有値En(小さい方からn=0,1,..とする)と固有ベクトル|n>求む。

 

【波動力学による解法】

(1) ベクトルを座標qの関数φ(q)、運動量pを座標qの微分演算子とする。

(2) q,pで表される物理量Hφ(q)に作用させた微分方程式(シュレディンガー方程式)を作る。

ただし、ベクトルのノルムが有限になるよう境界条件をおく。

(3) 微分方程式を解いてφ(q)を求める。このとき境界条件から、Eはとびとびの値しか取りえないことになり、固有値En求まる。

 

【行列力学による解法】

(1) 座標qと運動量pとして次の交換関係を満たすエルミート行列q,pを作る。

(2) q,pで表される物理量Hの行列を計算する。

(3) 行列式を使ってEに対する方程式を作って、その根として固有値En求めて

固有値Enに対して固有ベクトルxnを求め

行列力学と波動力学の定式化の違いをおさらいしておく。

量子力学では物理量は普通の(c)ではなくエルミート演算子(q)で表され、その固有値が実際に観測される値である、と考える

ここで、観測値は実数でなければならないので、観測可能な物理量はエルミート演算子でなければならない。

Aの固有値と固有ベクトルをα,|α>とすると、<α|A|α>=α<α|A|α>=α* は複素共役の関係になっている。

また、2つの物理量が同時に観測できるためには演算子が可換でなければならない。

ABの固有値をαβ、その同時固有ベクトル|αβ>とすると、AB|αβ>=αβBA|αβ>=αβ等しい。

座標qと運動量pは、観測可能な物理量

であるが、同時には観測できないので交換関係

を満たすものと仮定される。

波動力学による定式化は、多くの教科書に書いてある。

まずベクトルを座qの関数φ(q)、運動量pを座標qの微分演算子とおく。こうすると、交換関係は自動的に満たされている。

q,pで表される物理量Hは微分演算子になり、φ(q)に作用させると微分方程式(シュレディンガー方程式)ができる。

ただし、ベクトルのノルムが有限になるよう境界条件をおく。

の微分方程式を解いてφ(q)を求めると、境界条件からEはとびとびの値しか取りえないことになり、固有値Enが求まる。

◇◇

一方、行列力学による定式化が書いてある教科書はなかなか無いが、「量子力学(I)」(朝永振一郎)によると次のように書いてある。

座標qと運動量pして交換関係

を満たすエルミート行列q,pを何でもいいから1組作り、q,pで表される物理量Hの行列を計算する。

そうすれば線形代数で習うように、行列式を使っEに対する方程式を作って、その根として固有値Enを求め

各固有Enに対して固有ベクトルxnを求めればよい。

ところが、交換関係(1)を満たすような行列は、有限次元の正方行列では存在しない。

もしAB-BA=αIだとすると、トレースをとるとtr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA)=0だからα=0

したがってq,pは無限次元の行列でなければならず、「量子力学(I)」(朝永振一郎)には次の例が載っている。

成分で書くと

これらがエルミート(転置して複素共役をとると元のまま)なのは明らか。また交換関係(1)確かめてみると

辺々を引くと、(a+b)(c-d)-(a-b)(c+d)=bc-adとたすき掛けの項だけが残るので

と確かに成り立っている。

この行q,pの例は調和振動子から見つけたと思われる。実際、調和振動子のハミルトニアンの行列を計算してみると既に対角化されている。

しかし、この行列q,pで一般のハミルトニアンの場合を計算しようとすると、無限次元の行列式がでてきて本当に解けるのか疑問である。実際、ハイゼンベルグが定式化した行列力学で水素原子のエネルギーを計算するのは、複雑で難しかったらしい。

◇◇◇

量子力学の全体像が出来た後では、もう少し見通しのよい方法が発見されており、ハイゼンベルグ流のq,pの交換関係だけから演算子の固有値を求める方法は、「ハイゼンベルグ形式による量子力学」(グリーン)に載っている。これを次項で紹介する。


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