Euler-Lagrange方程式の導出

定積分Iを最小にする関数形y(x)を求めるには

次の方程式を解けばよい。

特にFがyを含まないときは1回積分できて

最速降下曲線を求めるEuler-Lagrange方程式がどのように導かれるのかをおさらいしておく。教科書では、関数形の変分δyを形式的に演算子と見なすLagrangeの方法が載っているが、なんとなく騙された感じがするので、素直に計算するEulerの方法を紹介する。これは「古典力学の形成」(山本義隆)に載っていた。

◇

定積分Iを最小にする関数形y(x)を求める。

積分を和で近似してn個の独立変数y_i=y(x_i)の関数とみなす

y_iを変化させたとき、y_i’とy_i-1'も変化することに注意すると

Iの変化は

Iを最小にするには

Δx→0として

特に、最速降下曲線の場合は変数が(x,y')のみなので1回積分できて簡単になる。

[←]　[↑]　[→]