楕円軌道の場合の解
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・公転を楕円軌道として、日の出・日の入り時刻の方程式を解くと、次図の点線のようになる。 （縦軸は時刻、横軸は1月1日からの日数。実線は国立天文台の計算値） ・地球の自転軸が傾いている効果に加えて、楕円軌道により近日点で角速度が最も速くなる効果によって、日の出時刻が一番早くなる日が夏至からずれる量が説明できる。(冬が近日点なので冬至の方がずれが大きくなる) ・さらに、太陽の視半径と大気層による屈折の効果をいれると、2,3分の精度で国立天文台の計算値と一致する。 |
実際の公転は楕円軌道であり角速度Ωは一定ではない。角速度は次の微分方程式で決まる。(→逆２乗則の力の場合を極座標で解く)
ここで楕円軌道は
rを消去して角度φと時間tの方程式に直すと
周期をTとおいて積分すると
この積分はこのままでは計算できないが、地球の公転軌道の離心率εは小さく
と1%ぐらいなので、εの1次で近似すると
したがって
角度φを時間tで表す式に直して
この式のt=0は近日点(太陽に一番近くなるとき)なので、角速度は近日点付近では速くなり、遠日点付近で遅くなる。
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楕円軌道の場合の角度φが求まったので、日の出・日の入りの時刻の方程式のΩtをこのφに置き換えればよいが、
φの式(1)は近日点（2013/1/2 4:38）から測ったtとφになっているので、これを春分の日の日の出時刻（2013/3/20 5:45）から測ったtとφに修正する。修正は、春分の日と近日点との時間差を⊿tとして
と、式(1)で置き換えればよく
となる。このφでf(t)のΩtを置き換えて、楕円軌道の場合の日の出・日の入りの時刻の方程式が得られる。
円軌道の場合と同様に、表計算ソフトで零点を計算すると、次図のとおりになった。実線は国立天文台の値、点線が計算値である。
波形の形は一致しており、日の出時刻が一番早くなる日が夏至からずれる量は、自転軸の傾きの効果に加えて楕円軌道の効果(近日点(横軸=1)で角速度が最も速くなる)を入れることで説明できた。
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ただし、時刻を合わせ込んだ日の出時刻の方は1,2分の誤差で一致しているが、日の入り時刻は一律9分ぐらい早くなっている。この誤差は、「日の出・日の入りの計算」(長沢工)に書いてある次の2つの理由で、ある程度は説明がつく。
(1) 太陽の視半径
本稿の計算では、太陽の中心が見える時刻を日の出・日の入り時刻としたが、正しい日の出・日の入り時刻の定義は、太陽の輪郭が見え始める時刻と、完全に見えなくなる時刻なので、それぞれ太陽の半径分だけ長くしなければならない。
太陽の視半径 ＝ (太陽の半径)/(地球から太陽までの距離) ＝ 696[Mm]/150[Gm] ＝ 0.00465[rad]
地球の自転角速度ω＝ 2π*(366/365)/(24[h]*60[min]) ＝ 0.00438 [rad/min]
∴ 太陽の半径分の時間 ≒ (太陽の視半径)/(地球の自転角速度) = 1.0[min]
(2) 大気差
さらに、大気層で光が屈折する効果により、太陽は本当の位置よりも浮き上がって見えるので
大気差＝ 0.585[度] ＝ 0.0102[rad]
∴ 大気差の時間 ≒ (大気差)/(地球の自転角速度) = 2.3[min]
結局、(1)と(2)の合計3.3[min]が日の出と日の入りの両方で2倍になり、6.6[min]だけ昼が長くなる。誤差9[min]のうち残りは、何か計算の精度不足かもしれない。