逆2乗則の力の場合を極座標で解く

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極座標での方程式は

逆2乗則の力の場合

軌跡は楕円になる

ここで、平均半径aと離心率εは、力の係数αとエネルギーEと角運動lで決まる。

力学の教科書に書いてあるように、極座標で解く方法をなぞっておく。

前項で求めた2つの積分から出発する。

よく見ると2つの変数のうちφが消去できて時間tと位置rだけの方程式が得られる。したがって(1)(2)をまとめると、時間tと位置r,φの微分方程式は次のように書ける。

時間に対する位置を求めるには、まずtrの方程式からr(t)を求めて、そこからtとφの方程式がわかるのでφ(t)が求められる。時間は気にせず、軌跡を求めるだけならrとφの方程式を使えばよい。

逆2乗則の力の場合の軌跡を計算する。

(3)に代入するとrとφの方程式は

したがって、φ=0のときθ=0となるように積分定数を選ぶと、次の軌跡の式が得られる。

典型的な楕円の式に書き直すと

ここで、平均半径aと離心率εは、力の係数αとエネルギーEと角運動lで決まる。

エネルギーが大きいほど平均半径が大きくなり、角運動量が大きいほど楕円が細長くなることがわかる。


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