逆２乗則の力の場合を極座標で解く
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極座標での方程式は
逆２乗則の力の場合
軌跡は楕円になる
ここで、平均半径aと離心率εは、力の係数αとエネルギーEと角運動量lで決まる。
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力学の教科書に書いてあるように、極座標で解く方法をなぞっておく。
前項で求めた2つの積分から出発する。
よく見ると２つの変数のうちφが消去できるので、(1)(2)は次のように、時間tと位置r,φの微分方程式になる。
時間に対する位置r(t)を求めるにはdrとdtの方程式を使い、そのr(t)とdtとdφの方程式でφ(t)が求められる。時間は気にせず、軌跡を求めるだけならdrとdφの方程式を使えばよい。
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逆２乗則の力の場合の軌跡を計算する。
を(3)に代入するとdrとdφの方程式は
したがって、φ=0のときθ=0となるように積分定数を選ぶと、次の軌跡の式が得られる。
典型的な楕円の式に書き直すと
ここで、平均半径aと離心率εは、力の係数αとエネルギーEと角運動量lで決まる。
エネルギーが大きいほど平均半径が大きくなり、角運動量が大きいほど楕円が細長くなることがわかる。