円軌道の場合の解

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・公転を円軌道と近似して、日の出・日の入り時刻の方程式を解くと、次図の点線のようになる。

(縦軸は時刻、横軸は11日からの日数。実線は国立天文台の計算値)

・地球の自転軸が傾いている効果によって、日の出時刻が一番早くなる日は夏至からずれる。

ここまで、公転の角速度Ωと自転の角速度ωを決めていなかったので、ここで決める。

本当の公転は楕円軌道でありΩは一定ではないが、簡単のため公転は円軌道と近似するΩは一定となる。1年をn(n=365)とおくと、公転の角速度は

一方、自転の角速度は1日に1回転ではないことに注意。もし地球がまったく自転していなかったとすると、1回公転する(1年たつ)と太陽は西から東へ1周する(1日戻る)から、1年がn(n=365)になるためには1分だけ多く自転しなければならず

である。厳密にいうと、うるう年があるので公転1(365+1/4)日と整数ではないが、誤差は0.25/365=0.1%ので無視する。

ようやく、日の出・日の入りの時刻の方程式

α:北極点から観測地点までの角度(東京:90°-35.7°=54.3°=0.95rad)

β:公転軸からの自転軸の傾き(23.4°=0.41rad)

Ω:公転の角速度

ω:自転の角速度

t:春分の日の日の出時刻からの時間

を解く準備ができたが、解析的には解けない形なのでf(t)のグラフを描いてみる。ただし、1365日だとグラフが見にくいので、簡単のため1年を8日とすると次図のようになる。

春分の日の日の出時刻をt=0と決めたので、f(t)>0の時間が昼、f(t)<0の時間が夜である。

◇◇

そもそも知りたかったのは、日の出時刻が一番早くなる日と夏至(昼が一番長くなる日)とが一致しないのはなぜか?である。

小学校で習ったように、もし地球の自転軸が公転軸に対して傾いてなかったら、昼夜の長さは1年を通じて変わらない。このとき、日の出日の入り時刻も一定なはずである。したがって、日の出日の入り時刻を変化させるパラメータは自転軸の傾きβであると考えて、f(t)β1次の項まで展開してみると

したがって、

・公転軸と自転軸が一致している(β=0)と、f(t)は正確に1日周期の正弦波になり、日の出・日の入りの時刻は1年を通じて変わらない。

自転軸が少し傾いている(0<β≪1)と、1年周期の正弦波が重ね合わされるので、昼夜の時間は1年周期でゆっくりと変化する

 しかし、日の出時刻が一番早くなる日が夏至とずれる量はごく小さいように見える。

そこで、βの高次の影響まで考慮するため、β=0,0.4,0.8と変化させてf(t)のグラフを描いてみると、β=0のときの正弦波がだんだん歪んで春分・秋分の日側に寄っていく。

したがって、日の出時刻が一番早くなる日と夏至(昼が一番長くなる日)とがずれるのは、自転の傾きによると言える。

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1365日として、日の出・日の入り時刻の方程式を解いてみる。

方法は、Excel1h刻みでf(t)を計算して、f(t)の符号が変わる所、すなわちf(t)f(t+1)<0になる所で

と直線補間して零点を求めた。また原点t=0は、春分の日2013/3/20の日の出時刻5:45とした。

国立天文台の値と比べるため、計算結果を点線であらわすと次図のようになった。

 

波形の歪みが再現されており自転軸が傾いている効果を入れるだけで、日の出時刻が一番早くなる日が夏至からずれることがわかる。ただ詳しく見ると、春分の日(横軸=78)で合わせ込んでいるので、その付近は一致しているのはあたりまえだが、反対側の秋付近はずれが大きくなっている。そこで次項では、さらに公転が楕円である効果も入れて計算してみる。


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