日の出・日の入り時刻の方程式

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【日の出・日の入り時刻の方程式】

【南中時刻の方程式】

こで

α:北極点から観測地点までの角度(東京:90°-35.6°=54.3°=0.95rad)

β:公転軸からの自転軸の傾き(23.4°=0.41rad)

Ω:公転の角速度

ω:自転の角速度

t:春分の日の日の出時刻からの時間

日の出・日の入りの時刻の方程式を求める。

まずxyz座標系を次のように決める。

・地球の中心を原点、公転面をxy平面、公転の軸ベクトルの方向をz方向とする。

・昼夜の境界線は太陽がある方向に垂直であると見なし(∵地球の半径に比べて太陽は104倍遠くにある)春分の日の日の出時刻(t=0)に太陽がある方向をy向とする。

このようにxyz軸を決めると、自転軸はxz平面内にあることになり、公転と自転の向きが同じであることから自転軸の傾きは-β(0<β<90°)とおける。

◇◇

ここで、昼夜の境界線のxyz座標を求めておくと、公転の角速度をΩとおくとx軸から回転角Ωtになるので

となる。

◇◇◇

次に観測地点の座標を決める。

・観測地点の緯度は、自転軸からの角をα(0<α<180°)とおく。

・観測地点の経度は、t=0(春分の日の日の出時刻)のときxz平面内にいるので、自転の角速度をωとおくとx軸から回転角ωtになる。

したがって自転軸をz軸にとった座標系での観測地点のxyz標は次のとおり。

公転軸をz軸にとった上記の座標系での観測地点xyz座標は、自転軸をy軸の周りに角け回転させて

となる。

◇◇◇◇

日の出・日の入りの時刻tは、上記(1)の昼夜の境界線と(2)の観測地点の軌跡との交点を求めればよいから

θを消去するため、x成分とy成分の比をとって(球面上にあるという制約から3成分のうち2成分だけが独立であることに注意)

したがって、日の出・日の入り時刻の方程式が得られた。

◇◇◇◇◇

ついでに、太陽が南に来る時刻(南中)の方程式も求めておく。

まず、地球から見た太陽の方向は、昼夜の境界線の図からわかるように

一方、観測地点から見た南の方向は、自転軸をz軸にとった座標系では観測地点と同じ経度の線だから次のとおり。

公転軸をz軸にとった上記の座標系での南の方向は、自転軸をy軸の周りに角だけ回転させて

となる。

南中時刻tは、上記(3)の太陽の方向と(4)の南の方向との交点を求めればよいから

θを消去したいので、回転行列を右辺に移して

x成分とy成分の比をとってθ消去すると

したがって、南中時刻の方程式が得られた。


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