日の出・日の入り時刻の方程式
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【日の出・日の入り時刻の方程式】
【南中時刻の方程式】
ここで α：北極点から観測地点までの角度(東京：90°-35.6°=54.3°=0.95rad) β：公転軸からの自転軸の傾き(23.4°=0.41rad) Ω：公転の角速度 ω：自転の角速度 t：春分の日の日の出時刻からの時間 |
日の出・日の入りの時刻の方程式を求める。
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まずxyz座標系を次のように決める。
・地球の中心を原点、公転面をxy平面、公転の軸ベクトルの方向をz方向とする。
・昼夜の境界線は太陽がある方向に垂直であると見なし(∵地球の半径に比べて太陽は104倍遠くにある)、春分の日の日の出時刻(t=0)に太陽がある方向をy方向とする。
このようにxyz軸を決めると、自転軸はxz平面内にあり、公転と自転の向きが同じであることから自転軸の傾きは-β(0<β<90°)とおける。
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ここで、昼夜の境界線のxyz座標を求めておくと、公転の角速度をΩとしてx軸から回転角Ωtになるので
となる。
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次に観測地点の座標を決める。
・観測地点の緯度は、自転軸からの角をα(0<α<180°)とおく。
・観測地点の経度は、t=0(春分の日の日の出時刻)のときxz平面内にいるので、自転の角速度をωとしてx軸から回転角ωtになる。
したがって自転軸をz軸にとった座標系での観測地点のxyz座標は次のとおり。
公転軸をz軸にとった上記の座標系での観測地点のxyz座標は、自転軸をy軸の周りに角-βだけ回転させて
となる。
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日の出・日の入りの時刻tは、上記(1)の昼夜の境界線と(2)の観測地点の軌跡との交点を求めればよいから
θを消去するため、x成分とy成分の比をとって(球面上にあるという制約から3成分のうち2成分だけが独立であることに注意)
したがって、日の出・日の入り時刻の方程式が得られた。
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ついでに、太陽が南に来る時刻(南中)の方程式も求めておく。
まず、地球から見た太陽の方向は、昼夜の境界線の図からわかるように
一方、観測地点から見た南の方向は、自転軸をz軸にとった座標系では観測地点と同じ経度の線だから次のとおり。
公転軸をz軸にとった上記の座標系での南の方向は、自転軸をy軸の周りに角-βだけ回転させて
となる。
南中時刻tは、上記(3)の太陽の方向と(4)の南の方向との交点を求めればよいから
θを消去したいので、回転行列を右辺に移して
x成分とy成分の比をとってθを消去すると
したがって、南中時刻の方程式が得られた。
