中心力場の運動方程式

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【中心力(対称なポテンシャルU(r))の中の質点(位置r(t))に対する運動方程式】

【エネルギーの保存】

【角運動量の保存】

運動はLに垂直な平面内にとどまる。

目標は、逆2乗則の力の場合の運動方程式を直交座標で解くことだが、

をいきなり解くのは無理なので、中心力場のときに一般的にできる積分を使う。

1つ目はエネルギーの保存で、力がポテンシャルの勾配U(r)の形であれば中心力場でなくても成り立つ。

2つ目は角運動量の保存で、中心力場(球対称)のとき成り立つ。

元の運動方程式は、時間についての2階の微分方程式が3個あるので積分定数は6個になるが、そのうち4個(E,L)が次のように決められる

(2)より質点の座標rは常にLに垂直なので、Lz方向と決めれば運動はxy平面にとどまる。そこでrxy平面の座標で書きなおすと次表のようになる。

 

ベクトル表記

直交座標

極座標

位置

速度

運動方程式

エネルギー

の保存

角運動量

の保存


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