正弦波のDFT

例として正弦波を使ってDFTの性質を見てみる。

位相θ、周波数K=0,1,...,N-1の正弦波

のDFTを計算すると

ここで最後のところはexp(2πj nk/N), k=0,1,...,N-1が互いに直交していることに依っている。

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(1) 周波数を変える

x(n)=cos(...)の周波数Kを変えてグラフを描くと次のようになる。X_kはk=Kの他にk=N-Kにもエイリアス(折り返し)が出るので、4<KとK< 4は区別がつかなくなる。時間軸でのサンプリングの様子を見るとエイリアスが出る理由が見た目でわかる。

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(2) 位相を変える

次にK=1に固定して位相θを変えてグラフを描くと、複素数X(k)が複素平面で回転する様子が見える。

実信号ではk=Kの他にk=N-Kにエイリアスが現れてしまうが、解析信号にするとk=N-K の成分はキャンセルしてk=Kの成分だけになる。

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