実数と左右対称
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信号x(t)が実数ならば、周波数スペクトルX(ω)はω軸で左右対称になる
さらに実信号x(t)が偶関数ならば、周波数スペクトルX(ω)は実数になる
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フーリエ変換の定義では信号x(t)は一般には複素数だが、電子工学で扱う信号は電圧等なので実数である。信号x(t)が実数ならば、周波数スペクトルX(ω)は正と負で対称になる。なぜならばX(ω)の複素共役をとると
すなわち、実信号x(t)の周波数スペクトルの実部は偶関数、虚部は奇関数になる。
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フーリエ変換の対称性から、逆に周波数スペクトルが実数ならば信号は偶関数になる。したがって、信号x(t)が実数かつ偶関数ならば、周波数スペクトルX(ω)は実数(かつ偶関数)になる。よく、FIRフィルタの係数を左右対称(偶関数)にするが、これはフィルタの周波数スペクトルが実数、すなわち位相変調が0で振幅変調だけにするためらしい。(位相変調が無いと何が良くなるのかよく知らない)
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ちなみに、実信号x(t)の周波数スペクトルが左右対称ということは、片側のスペクトルだけで信号x(t)の全情報を持っていることになる。したがって、正の周波数だけ取り出した信号(解析信号という)も元の実信号と同じ情報量を持っている。
簡単な実信号の例として正弦波cos(ω0t) を考えると、周波数スペクトルは
と、ω=+ω0 と-ω0 に周波数成分をもつ。正の周波数成分(ω=+ω0)だけを取り出して逆フーリエ変換すると
すなわち、正の周波数成分だけを取り出した解析信号は、実部が元のcosで虚部がsinである複素数になる。
無線通信やレーダで使われるIQ検波(直交検波,Quadrature Detectionともいう)は、実信号から正の周波数だけを取り出す操作に他ならない。(→補足-実信号と解析信号)