実数⇔左右対称

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信号x(t)が実数ならば、周波数スペクトルX(ω)ω軸で左右対称になる

さらに実信号x(t)が偶関数ならば、周波数スペクトルX(ω)実数になる

フーリエ変換の定義では信号x(t)は一般には複素数だが、電子工学で使うときの信号は電圧等なので実数である。信号x(t)が実数ならば、周波数スペクトルX(ω)は正と負で対称になっている。なぜならばX(ω) の複素共役をとると

すなわち、実信号x(t)の周波数スペクトルの実部は偶関数、虚部は奇関数になる

フーリエ変換の対称性から、逆に周波数スペクトルが実数のとき信号は偶関数になる。すなわち信号x(t)が実数でかつ偶関数ならば、周波数スペクトルX(ω)は実数(かつ偶関数)になる。よく、FIRフィルタの係数を左右対称(偶関数)にするが、これはフィルタの周波数スペクトルが実数すなわち位相変調が0で、振幅変調だけにするためらしい。(位相変調が無いと何が良くなるのかよく知らな)

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ちなみに、実信x(t)の周波数スペクトルが左右対称ということは、片側のスペクトルだけで信号x(t)の全情報を含んでいることになる。したがって、正の周波数だけ取り出して作った信号(解析信号という)も元の実信号と同じ情報を持っている

簡単な実信号の例として正弦波cos(ω0t)を考えると、周波数スペクトルは

と、ω=+ω0-ω0に周波数成分をもつ。正の周波数成分(ω=+ω0)だけを取り出して逆フーリエ変換すると

すなわち、正の周波数成分だけを取り出した解析信号は、実部が元cosで虚部がsinである複素数になる。

無線通信やレーダで使われるIQ検波(直交検波,Quadrature Detectionともいう)は、実信号から正の周波数だけを取り出す操作に他ならない。(補足-実信号と解析信号)


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