補足 - 実信号と解析信号

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実信x(t) の正の周波数成分だけを取り出した解析信号s(t)は、次のように表せる

この虚部x(t)の位相をπ/2け回したものである

実信x(t)から正の周波数成分だけを取り出した解析信号s(t)を作る方法を考える

正の周波数成分だけを取り出すには、次のようにステップ関数をかけ算すればよい

このステップ関数は次のように分解できるから(→いろいろな関数のフーリエ変換

ステップ関数の逆フーリエ変換は

であり、これを実信号x(t)に畳み込めば解析信号s(t)が得られる。

解析信s(t)の実部は元の実信号x(t)と同じであり、虚部のフィルタは

だから実信x(t)の位相をπ/2だけ回したもの(ヒルベルト変換とい)になっている。

計算上は解析信号を求められるが、これを回路で実現するのは一般的には難しい。というのは、すべての周波数に対して位相を一定値だけ回すということは、周波数に反比例した遅延をつけることだから、アナログ回路で実現するのはたぶん無理である。デジタル回路でも、1/tというフィルタはしっぽが長いので現実的ではない。

しかし、無線通信やドップラレーダのように、キャリア周波数ω0の近くだけに周波数スペクトルX(ω)がある場合は、0だけシフトしてLPFをかければよい。

ω軸で0だけシフトすることはt軸でexp(-jω0t)をかけ算することだから、この操作は比較的簡単に回路で実現できる(IQ検波という)

exp(-jω0t)のかけ算はアナログ回路でやってもよいが、デジタル的にIQ検波することもでき、例えばサンプリング周波数をキャリア周波数の4倍にすれば、符号を周期的に変えるだけでI+jQが求められる

ω0t

0

π/2

π

3π/2

...

I(t)=x(t)*cos(ω0t)

x(t)

0

-x(t)

0

x(t)

...

Q(t)=x(t)*sin(ω0t)

0

x(t)

0

-x(t)

0

...

◇◇

実信号に比べて解析信号の利点の一つは、x(t)の振幅変調A(t)I(t)2+Q()2と簡単に求められることである。(実信号x(t)から包絡線A(t)を求めるのは難しい)

また、周波数帯域が半分になっているのでサンプリング周波数も1/2でよい。サンプリング周波数が1/2になっても解析信号I(t)+jQ(t)は実部と虚部があるので、情報量は実信号と同じである。


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