補足 - ベルヌーイ数

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ベルヌーイ数Bnは次の母関数で定義される。

漸化式は

最初の方を計算すると

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Bn

1

-1/2

1/6

0

-1/30

0

1/42

0

-1/30

0

5/66

 

指数関数を母関数とする数列は

であり、これの逆数を母関数とする数列は単に符号が変わるだけである。

◇

ところが指数関数に似た次の関数を考えると

これの逆数を母関数とする数列は単純ではなくベルヌーイ数と呼ばれる。

母関数から漸化式を求めるには、逆数が簡単な級数で書けることを使って

したがってベルヌーイ数の漸化式は

最初の方を計算すると

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Bn

1

-1/2

1/6

0

-1/30

0

1/42

0

-1/30

0

5/66

 

奇数番目が0になることは、xを-xに置き換えて引き算すると奇関数の項だけ残ることを使って示せる。

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