抵抗が０の導体表面での境界条件
最初に、電磁気学で導体とはどういうものであったかを復習しておく。
簡単のため一般の電磁波でなく静電場を考えると、電場は電位φを使って
E = -∇φ
と表せるので、Gaussの法則∇・E=ρ/εから電荷ρがない空間での電位の方程式は
Δφ(導体外) = 0 (Laplace方程式)
電位の基準は無限遠を0にとる。
φ(無限遠) =0
さて導体がある場合の境界条件は
φ(導体表面) = 一定
こう決める物理的理由は、導体とは電荷が自由に移動できる物質(抵抗=0)であるとして、もし導体表面の接線方向に電場ができたら電荷はすぐに移動して電場の接線方向=0すなわちφ(導体表面)=一定になるように分布するからである。この条件から導体表面では電場E=-∇φは表面に垂直になる。さらにこの条件を満たす電荷密度ρはGaussの法則
-∇φ(導体表面) = ρ(表面) /ε
から求められる。
結局、導体の近くに電場ができると(電磁場が来ると)、導体の中から電荷が浸み出してきて表面上の電位が一定(電場が垂直)になるように分布して電場を決める。電荷が無尽蔵に浸み出してくるというのが導体の特徴で、電荷をたっぷり含んだスポンジのようなものをイメージすればよい。
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ちなみに導体内の方程式は
Δφ(導体内) = 0
こう決める物理的理由は、導体内に電荷があったとすると反発しあってすぐに四方に散逸し、電荷は全部表面上に集まり内部には存在しなくなるからである。この方程式と境界条件φ(導体表面)=一定から実は
φ(導体内) = 一定
であることがわかる。なぜなら、導体内で2階微分Δφが0ということはφは極大/極小値をとらない、とるとすれば導体表面上である。一方φ(導体表面)=一定なので結局、導体内は表面と同じ電位ということになる。(→補足1) 結局、導体内に静電場は存在しない。別の見方をすると、外部の電場を導体内ではキャンセルするように導体表面上に電荷が分布する。
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以上の議論は一般の電磁場(E=-∇φ-dA/dt)に対しては成り立たないが、TEM波の場合は進行方向と垂直な電場に対して
E = -∇φ
が成り立つからTEM波の方程式は静電場と同じになる。一方、境界条件
φ(導体表面) = 一定
の方は成り立つのか微妙だが、たぶん導体の電荷がTEM波の進行(光速)と同時に次々と表面に浸み出してくれれば成り立つ。
次項以降では、TEM波は静電場と同じ方程式と境界条件が成り立っているとして特に区別せずに話を進める。
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(補足1) 「導体内に電荷が存在せずΔφ(導体内)＝0かつ電位φが導体表面上で一定ならば、導体内部でも電位φは一定である」ことは次のように示せる。
まずφ∇φにGaussの発散定理を適用すると
したがって
