補足 - GNDプレーン上を走る線路が作る電気力線

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電場を視覚的に表現するには電気力線を描くのがよいが、等電位面に比べて電気力線を描くのは難しい。「なっとくする演習・電磁気学」(後藤尚久)に電気力線の描き方が載っていたので、これを使ってGNDプレーン上を走る線路が作る電気力線を描いてみよう。

GNDプレーンの代わりに点Qにある線電荷+qの鏡像として点Q'に線電荷-q置く。

一般に、単位長さあたりの線電荷qから距離r離れた位置の電場はGaussの法則より

1本の線電荷が作る電気力線のうち見込み±θ内の孤を横切る本数は

したがって2本の線電荷が作る電気力線のうち見込み角±θ1±θ2内の孤を横切る本数は

これが一定になるような点の軌跡を求めれば電気力線が描けるが、角度の差(=円周角)が一定なのだから軌跡は線QQ’を弦とする円になる。

実際に電気力線を描くためにはこの定数を決めなければならない。そのため、点Qの周りに微小な円を考えると、この円周上では電気力線は放射状に等間隔にのびているとみなせるからθ110等分したものとし、またθ20とみなせるので

これで10本の電気力線が描ける。

この式をPの座標x,y表すと

この式の軌跡を求めるのは難しそうだが、結果が線分QQ’を弦とする円になることが分かっているので、円の方程式

と係数を比較すれば、

となることがわかる。これが求める電気力線の式である。

ついでに導体表面上の電荷分布も求めておく

線電荷qから距離r離れた位置の電位は

2本の線電荷による座標(x,y)電位は

したがって導体表面(y=0)の電荷分布σGaussの法則より

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以上の式を使えばGNDプレーン上を走る線路が作る電気力線の正確な図を描ける。(ピンクのグラフは電荷分布を表す)


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