補足 - 特異値分解

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任意の行列Aは対角行列Σとユニタリ行列U,Vに分解できる。

Σの対角要素(特異値)は非負で大きい順に並べる。

特異値分解を図形でイメージすると、

・行列をかけることは、回転・鏡映U,Vと伸縮Σの組み合わせ。

・伸縮Σは球から楕円体への変換で、対角要素σは楕円体の各軸の半径。

である。

◇

特異値分解は固有値分解を経由して計算できる。なぜなら、特異値分解の式

からA^†Aを作ると

A^†Aの固有値分解の式になっているので、A^†Aを固有値分解すればAの特異値分解が求められる。

特異値分解の計算手順：

(1) m行n列のAからn行n列のA^†Aを作る

(2) A^†Aは半正定値のエルミート行列になるからユニタリ行列Vで対角化できる(固有値分解)

(3) σ=√λ としてn行n列のΣを作る

(4) U=AVΣ^―1からユニタリ行列Ｕを求める

ただし、この方法は(2)固有値分解の安定性がよくないので、数値計算では別のアルゴリズムが使われるらしい。

◇◇

手計算の例) (この例は適当なU,V,Σから作りました)

固有値は

固有ベクトルは、符号がなるべく正になるように選んで

したがってユニタリ行列Vは

特異値は、固有値の正の平方根をとって

もうひとつのユニタリ行列Uは

これで、特異値分解が求められた。

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