記号の定義

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本章は行列とベクトルがたくさん出て来るが、記号にはいろいろ流儀があって紛らわしいので最初に決めておく。　

用語	記号	説明
スカラー scalar	a	小文字で表す
ベクトル vector		太字の小文字で表す 列ベクトル(m行1列の行列)とする
行列 matrix		大文字で表す
複素共役 complex conjugate
転置 transpose		行と列を入れ替えたもの
エルミート共役 Hermitian conjugate		複素共役をとって転置したもの
ベクトルの外積 outer product
ベクトルの内積 inner product		ただの積a^Tbではなく複素共役との積とする
複素数の絶対値
ベクトルのノルム norm		ノルムの定義はいろいろあるが 2-normと呼ばれるものを使う
単位行列 identity	I	単位行列はIと書く
値域 range	range(A)={ Ax }	xが動いたときにAxが動く範囲 Aの列ベクトルが張る空間と同じ
次元 dimension	dim({x})	その空間の独立なベクトルの個数
階数 rank	rank(A) =dim(range(A))	Aの列ベクトルで独立なものの個数 m行n列(m≧n)の行列Aにおいて 列ベクトルがすべて独立(rank(A)=n)の場合 Aはフルランクであるという。
零空間 null	null (A) ={x | Ax=0}	Ax=0を満たす列ベクトルxの集合
行列のノルム	||A||=sup( ||Ax||/||x|| )

◇

記号の書き方で迷うのは複素共役とエルミート共役である。

数学の本では、複素共役はバー、エルミート共役はアスタリスクを使うようだが、バーはワープロで書けないので避けた。

工学の本では、複素共役はアスタリスク、エルミート共役はHを使うようだが、Hはべき乗と紛らわしいので避けた。

物理学の本では、複素共役はアスタリスク、エルミート共役はダガー(†)を使うようで、これを採用した。

転置は、べき乗と区別するために左肩に書いている本もあるが、エルミート共役の実数版と見なしたいので、しかたなく右肩につけることにした。

◇◇

行列の要素は複素数とするが、実数の場合は次表のように読みかえればよい。

実数	複素数
対称行列 A^T=A	エルミート行列 A^†=A
直交行列 A^TA =I	ユニタリ行列 A^†A=I

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