記号の定義

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本章は行列とベクトルがたくさん出て来るが、記号にはいろいろ流儀があって紛らわしいので最初に決めておく。

用語

記号

説明

スカラー scalar

a

小文字で表す

ベクトルvector

太字の小文字で表す

列ベクトル(m1列の行列)とする

行列 matrix

大文字で表す

複素共役complex conjugate

 

転置transpose

行と列を入れ替えたもの

エルミート共役hermitian conjugate

複素共役をとって転置したもの

ベクトルの外積 outer product

 

ベクトルの内積 inner product

ただの積aTbではなく複素共役との積とする

複素数の絶対値

 

ベクトルのノルム norm

ノルムの定義はいろいろあるが

2-normと呼ばれるものを使う

単位行列 identity

I

単位行列はIと書く

値域range

range(A)={ Ax }

xが動いたときにAxが動く範囲

Aの列ベクトルが張る空間と同じ

次元dimension

dim({x})

その空間の独立なベクトルの個数

階数rank

rank(A) =dim(range(A))

Aの列ベクトルで独立なものの個数

mn(m≧n)の行列Aにおいて

列ベクトルがすべて独立(rank(A)=n)の場合

Aフルランクであるという。

零空間 null

null (A) ={x | Ax=0}

Ax=0を満たす列ベクトルxの集合

行列のノルム norm

||A||=sup( ||Ax||/||x|| )

 

記号の書き方で特に迷うのは複素共役とエルミート共役である。

数学の本では、複素共役はバー、エルミート共役はアスタリスクを使うようだが、バーはワープロで書けないので避けた。

工学の本では、複素共役はアスタリスク、エルミート共役はHを使うようだが、Hはべき乗と紛らわしいので避けた。

転置は、べき乗と区別するために左肩に書いている本もあるが、ワープロで書いたときATATがどっちに付いているのか紛らわしいので、しかたなく右肩につけることにした。

◇◇

行列の要素は複素数とするが、実数の場合は次表のように読みかえればよい。

実数

複素数

対称行列

AT=A

エルミート行列

A=A

直交行列

ATA =I

ユニタリ行列

AA=I


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