補足 - 気体中の音速
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気体中の音速vは,平衡状態の密度ρ0、体積V0、圧力変化率dp/dVで表せる
理想気体の場合は
特に空気の場合は
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「熱学思想の史的展開」(山本義隆)という本に、ニュートンがボイルの法則pV= f(T)から音速を求めた(→補足1)という話が載っていた。熱力学の教科書には音速の話はでてこないが、pV=f(T)は気体を圧縮するとバネのように反発することを示しているので、気体を弾性体とみなして音速を求めることができる。
◇
最初に、弾性体を伝わる音速を求める。弾性体を、質量mがバネ定数kでつながったモデルで近似すると、
ある点xの微小変位u(x)に対して右側と左側のバネから力を受けるから、運動方程式は
となり、u(x)は波動方程式に従うことがわかる。速度vの波動方程式
と係数を比較して速度vが求まる。
◇
次に、弾性体の定数を気体の定数に書き直す。気体を輪切りにして、質量を仕切りに持たせ、挟まれた空間をバネと見なせば、上記の弾性体のモデルと同じになる(→補足2)。
質量mは、気体の平衡状態の密度ρ0を使って表せて
バネ定数kは、反発力Fと変位uを気体の平衡状態p0,V0からの変化dp,dVで表して
これらを式(1)に代入すれば、音速が気体の密度とp,Vで表せる。
さらに計算を進めるにはpとVの関係式が必要になる。理想気体を仮定するとボイルの法則から
だが、音波が伝わるときの圧縮は等温ではなく断熱(短時間すぎて熱が移動しない)とみなすべきで、ポアソンの法則
を使って
これを式(1')に代入すれば
理想気体では
と圧力と密度は比例するのでキャンセルして温度だけに依存することになる
これで気体の定数で音速があらわせた。特に空気(N2とO2)の物性値は
で、例えば25℃(298K)のときの計算値は実際の音速と合っている。
◇◇
(補足1) ボイルの法則のニュートンによる解釈
ニュートンの時代は断熱圧縮の概念が未だなく、バネ定数の計算にボイルの法則を使ったため係数7/5が無くて、計算値が実測より小さくなってしまったそうである。計算結果はともかく、おもしろいのはボイルの法則の解釈で、現代では気体分子がわりと自由に等速直線運動していて、衝突することで圧力が発生すると考える。そうすると、例えば一方向に1/2に圧縮すれば、距離が1/2になるので衝突回数が2倍になり圧力も2倍になる。一方、ニュートンの解釈は、正体はわからないが何か気体の分子が並んでいて距離の逆１乗則の斥力がはたらいていると考える。この解釈でも、距離が1/2になれば斥力すなわち圧力が2倍になるのは同じである。ニュートンは天体間に距離の逆2乗則の引力が働くという解釈で成功したので、この分子間の斥力を発想したようである。歴史を知ると、今、当たり前と信じていることが、さほど当たり前でないことを思い知らされて楽しい。
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(補足2) 音波の波長
この仕切りがあるモデルは違和感がある。というのは、固体のように分子間に斥力が働いているならこのモデルでよいが、気体のバネは分子の衝突で発生しており質量部分とバネ部分に分離できないからである。ただ、このモデルで想定しているスケールは、人間が聞こえる音波の波長17mm(=340m/s÷20kHz)ぐらいと十分大きいので、連続体として近似してよいのかもしれない。
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