大気圧と高度の関係式

気温Tは高度zに対して線形に変化すると仮定すると、

大気圧pは高度zに対してべき乗または指数関数的に小さくなる。

また大気の密度ρは

ここで単位を、圧力p[Pa]、密度ρ[kg/m³]、温度T[K]とすると、定数は

前項で、大気圧と高度の関係式

が出てきたが、これは標準大気というモデルに依っている。このモデルは、大気を層に区切って温度変化を線形近似したものである。対流圏では高度とともに温度が下がって行き、成層圏で下げ止まり、成層圏と中間圏の間ではオゾン層が紫外線を吸収するため一旦、温度が上がる。

このモデルから、大気圧と高度の関係式がどのように導出されるのか見てみる。なお以下の計算は、「一般気象学」(小倉義光)によっている。

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まず、大気圧はその場所より上にある大気の総重量がかかったものだから、大気の密度をρ(z)とすると

と、圧力ｐと高度ｚの関係(静力学平衡の式)が得られる。ここで重力加速度は

厳密には、重力加速度gも高度zに依存するが

精度⊿g/g=1%でよいことにすれば、地球の半径はR=6000kmだから高度⊿z=30kmぐらいまではgは一定と見なせる。

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式(1)を解くには密度ρを高度zか圧力p(z)で表す式が必要なので、理想気体の状態方程式を仮定する。

1molの空気に対する状態方程式は

定数Rはボルツマン定数とアボガドロ数の積である。

空気の分子量をMとおくと空気1molはM[g]になるので、密度ρ[g/cm³]=M[g]/V[cm³]の空気に対する状態方程式は

ここで定数R_Mは、次表からM＝28.96になるので、

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式(1)に式(2)を加えても変数Tが加わってしまうので、やはりこれだけでは解けないが、とりあえずρを消去すると、圧力pと温度Tと高度zの関係式は得られる。

これを解くにはp,T,zの関係式がもう１つ必要なので、標準大気モデルにしたがって温度Tは高度zに対して線形に変化すると仮定すると

(4)を(3)に代入して、圧力pと高度zの関係式が得られる。

また、大気の密度ρはpとTから(2)によって簡単に求められる。

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標準大気モデルでは、地上(z=0)の圧力と温度を

対流圏(高度11km以下)での温度変化率を

と決めている。これらの値を(5)に当てはめると

と、前項の式と有効数字3桁で一致している。

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上記の計算はΓ≠0としていたが、Γ＝0のときは計算式が少し異なるので注意。

温度一定の場合

圧力は

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