補足 - Wirtingerの微分
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複素変数zとz*の2次形式を、zとz*を独立な2変数とみなして偏微分すると
ここで偏微分のベクタは
実変数xの場合とは異なることに注意
ちなみにzやz*の偏微分を使うのは、2次形式のようにz*に依存する関数は複素微分ができないから |
複素平面上の微分はdxとdyの2方向の偏微分であらわせるが、これをdzとdz*で書き直すと
すなわち、zとz*を独立な2変数とみなした偏微分が定義できる(Wirtingerの微分)
実際に独立になっているか確かめてみると
同様にして
◇◇
偏微分のベクタを次のように定義すると
zとz*の2次形式の偏微分は次のように書ける
実変数のxの場合とは異なることに注意
◇◇◇
ちなみに2次形式を微分するのに、なぜ複素微分を使わないのかというと、できないからである。
そもそも複素微分できるとは
において、どの方向の偏微分も同じ値になることであり
この条件をWirtingerの微分で書くと「関数値がzだけに依存してz*に依存しないこと」になる。
つまり2次形式のようにz*に依存する関数は複素微分できない
複素微分できる(正則、解析的)とは、かなり厳しい条件なのである。
例) 実数変数の関数は、ある点で1階微分できても2階微分できないことがある。その点の近傍だけの性質で決まる。
一方、複素変数の関数は1階微分できれば何回でも微分できる。その点を含む広い領域の性質で決まる。