補足 - パーセバルの等式

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畳み込み積分はフーリエ変換の積を逆フーリエ変換して求められる

h(t) x*(-t)で置き換えると、

自己相関はパワースペクトルを逆フーリエ変換して求められる Wiener-Khintchineの定理】

t=0と置くと、エネルギーがx(t)X(ω)で表わされる 【パーセバル(Parseval)の等式】

よく使われる上記の3つの式を示す。

1番目の式は次のように計算できる。

◇◇

x* (-t)のフーリエ変換はX* (ω)だから、1番目の式でh(t)x* (-t)H(ω)X* (ω)に置き換えると、

左辺の-t't''に置換して、

2番目の式が得られた。

◇◇◇

2番目の式でt=0とすると、

3番目の式が得られる。この式の値をエネルギーとよぶ理由は、信号x(t)が電圧であるとすると、電圧の振幅の2乗を抵抗で割ったものはパワー(単位時間あたりのエネルギー)であり、パワーの時間積分はエネルギーになるからである。


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