ベクタ(x,y)の長さ

[←]　[↑]　[→]

---

ベクタ(x,y)の長さを求めるには平方根が必要になるが、数％の精度でよければ1次式の近似でも十分である。

◇

基本的なアイデアは、ベクタ(x,y)の長さの式

は3次元座標(x,y,z)で見ると円錐なので、角錐で近似するというものである。

角錘は、近似式の値域が真値を超えないように、円錐に外接するものを選ぶ。

半径zの円に外接する直線の式は、法線方向を(cosα,sinα)とすると

長さを求めているのでx,yは第1象限(0<α<π/2) だけ考えればよく、さらに|x|<|y|の領域(π/4<α<π/2)は|y|<|x|の領域のcosαとsinαを入れ替えればよいので、結局、近似式は次のようになる。

誤差が最大になるのはx軸上であり、真値に対して相対誤差=(1-cosα)である。

◇◇

(1) 8角錐の場合、相対誤差8%

範囲	α	cos α	sin α	cos αの近似値	sin αの近似値
|y|<|x|	π/8	0.924	0.383	59/64 =0.922	49/128 =0.383

(2) 16角錐の場合、相対誤差2%

範囲	α	cos α	sin α	cos αの近似値	sin αの近似値
|y|<|x/2|	π/16	0.981	0.195	251/256 =0.980	25/128 =0.195
|x/2|<|y|<|x|	3π/16	0.831	0.556	213/256 =0.832	71/128 =0.555

(3) 32角錐の場合、相対誤差0.5%

範囲	α	cos α	sin α	cos αの近似値	sin αの近似値
|y|<|x/4|	π/32	0.995	0.098	255/256 =0.996	25/256 =0.098
|x/4|<|y|<|x/2|	3π/32	0.957	0.290	245/256 =0.957	37/128 =0.289
|x/2|<|y|<|3x/4|	5π/32	0.882	0.471	113/128 =0.883	121/256 =0.473
|3x/4|<|y|<|x|	7π/32	0.773	0.634	99/128 =0.773	81/128 =0.633

---

[←]　[↑]　[→]