ベクタ(x,y)の長さ

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ベクタ(x,y)の長さを求めるには平方根が必要になるが、数%の精度でよければ1次式の近似でも十分である

基本的なアイデアは、ベクタ(x,y)の長さの式

3次元座標(x,y,z)で見ると円錐なので、角錐で近似するというものである。

角錘は、近似式の値域が真値を超えないように、円錐に外接するものを選ぶ。

 

半径zの円に外接する直線の式は、法線方向を(cosα,sinα)とすると

長さを求めているのでx,yは第1象限(0<α<π/2) だけ考えればよく、さらに|x|<|y|の領域(π/4<α<π/2)|y|<|x|の領域のcosαsinαを入れ替えればよいので、結局、近似式は次のようになる

誤差が最大になるのはx軸上であり、真値に対して相対誤差=(1-cosα)である。

◇◇

(1) 8角錐の場合、相対誤差8%

範囲

α

cos α

sin α

cos αの近似値

sin αの近似値

|y|<|x|

π/8

0.924

0.383

59/64 =0.922

49/128 =0.383

 

(2) 16角錐の場合、相対誤差2%

範囲

α

cos α

sin α

cos αの近似値

sin αの近似値

|y|<|x/2|

π/16

0.981

0.195

251/256 =0.980

25/128 =0.195

|x/2|<|y|<|x|

3π/16

0.831

0.556

213/256 =0.832

71/128 =0.555

 

(3) 32角錐の場合、相対誤差0.5%

範囲

α

cos α

sin α

cos αの近似値

sin αの近似値

|y|<|x/4|

π/32

0.995

0.098

255/256 =0.996

25/256 =0.098

|x/4|<|y|<|x/2|

3π/32

0.957

0.290

245/256 =0.957

37/128 =0.289

|x/2|<|y|<|3x/4|

5π/32

0.882

0.471

113/128 =0.883

121/256 =0.473

|3x/4|<|y|<|x|

7π/32

0.773

0.634

99/128 =0.773

81/128 =0.633

 


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